Question

Determine os extremos da função

Answer 1

Resposta: Letra B) Um máximo em x = - 5 e um mínimo em x = - 5/3.

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Explicação passo a passo:

Determinar os extremos de:

$f(x)=x^3+10x^2+25x-50$

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Inicialmente, calcule a derivada da função:

$f'(x)=(x^3+10x^2+25x-50)'$

$f'(x)=(x^3)'+(10x^2)'+(25x)'-(50)'$

$f'(x)=3x^2+20x+25$

$~$

Observe o seguinte:

$f'(x)=0\implies x~ \acute{e}~um~ponto~critico.$

$\therefore$

$f'(x)=3x^2+20x+25=0$

$3x^2+20x+25=0$

$3x^2+15x+5x+25=0$

$3x(x+5) +5(x+5)=0$

$(3x+5)(x+5)=0$

$(3x+5)=0~ou~(x+5)=0$

$x=-\frac{5}{3}~ou~x=-\,5$

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Estudando a derivada e os pontos críticos, conclui-se que:

• $f'(x) > 0\implies x < -\,5~ou~x > -\frac{5}{3}$
• $f'(x) < 0\implies -\,5 < x < -\frac{5}{3}$

$i)$ f'(x) > 0 à esquerda e f'(x) < 0 à direita de x = - 5. Então x = - 5 é um ponto de máximo local.

$ii)$ f'(x) < 0 à esquerda e f'(x) > 0 à direita de de x = - 5/3. Então x = - 5/3 é um ponto de mínimo local.

Tal conclusão se deve ao fato de que:

$f'(x) > 0~quando~x=a^-~e ~f'(x) < 0~quando~x=a^+ \implies x=a~\acute{e}~um~maximo.$

$f'(x) < 0~quando~x=a^-~e ~f'(x) > 0~quando~x=a^+ \implies x=a~\acute{e}~um~minimo.$

, e também ao conferir o gráfico (vide anexo).

Letra B