Question

Determine os elementos principais da parábola: y2 + 2y – 16x – 31 = 0

Answer 1

Os elementos principais são: Foco (F), Reta Diretriz (D), Vértice (V), Parâmetro (P) e o eixo de simetria (c). Vamos então achar todos eles;

Vamos primeiramente achar o vértice da parábola;

y²+2y-16x-31=0
y²+2y-1²=16x+31
y²+2y+1=16x+31+1
(y+1)²=16x+32
(y+1)²=16(x+2)

Vértice (-1,-2) 

2p=16
p=16/2
p=8

Parâmetro = 8

Eixo de simetria é dado por: c=p/2
c=p/2
c=8/2
c=4

Agora, nos resta apenas achar o foco e a diretriz, para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos, igualando o valor da distância a metade do parâmetro, então;

p/2²=(xf-xx)²+(yv-yf)²
4²=(x-(-1))²+(-2-(-2))²
16=(x+1)²+(-2+2)²
16=x²+2x+1
x²+2x+1-16=0
x²+2x-15=0

Vamos calcular, agora, a equação do segundo grau. As duas raízes que encontrarmos, serão os valores do Foco (x) e da Reta Diretriz (x)

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = 22 - 4 . 1 . -15 
Δ = 4 - 4. 1 . -15 
Δ = 64

2) Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-2 + √64)/2.1

x' = 6 / 2

x' = 3

x'' = (-2 - √64)/2.1

x'' = -10 / 2

x'' = -5

Só nos resta, agora, saber quem é o foco e quem é a diretriz. 

Como é o y que está no domínio da equação e o parâmetro, que achamos no começo, é positivo , a parábola está com a concavidade voltada para a esquerda. Logo, deduzimos que o foco é positivo, então;

Foco (3,-2)

Diretriz (-5,-2)

- Resumindo os elementos principais que encontramos

Vértice (-1,-2)

Parâmetro = 8 

Eixo de simetria = 4

Foco (3,-2)

Diretriz (-5,-2)