Determine os dois últimos algarismos de 13^169.
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Olá Cesar.
Encontrar os dois últimos algarismos de um número é equivalente a achar o resto da divisão deste número por 100. Portanto vamos encontrar o resto da divisão de
por 100.
![\mathsf{N\equiv13^{169}~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(13^2)^{84}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv169^{84}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv[(-31)^2]^{42}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv961^{42}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(-39)^{42}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv[(-39^2)]^{21}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv1.521^{21}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(21^2)^{10}\cdot21\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv441^{10}\cdot273~(mod~100)}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathsf%7BN%5Cequiv13%5E%7B169%7D%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%2813%5E2%29%5E%7B84%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv169%5E%7B84%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%5B%28-31%29%5E2%5D%5E%7B42%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv961%5E%7B42%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%28-39%29%5E%7B42%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%5B%28-39%5E2%29%5D%5E%7B21%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv1.521%5E%7B21%7D%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%2821%5E2%29%5E%7B10%7D%5Ccdot21%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv441%5E%7B10%7D%5Ccdot273%7E%28mod%7E100%29%7D "\mathsf{N\equiv13^{169}~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(13^2)^{84}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv169^{84}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv[(-31)^2]^{42}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv961^{42}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(-39)^{42}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv[(-39^2)]^{21}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv1.521^{21}\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(21^2)^{10}\cdot21\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv441^{10}\cdot273~(mod~100)}")
![\mathsf{N\equiv(41^2)^5\cdot73~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv1.681^5\cdot73~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(-19)^5\cdot73~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv[(-19)^2]^2\cdot(-19)\cdot(-27)]~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv361^2\cdot513~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv-39^2\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv1.521\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv21\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv273~(mod~100)}\\\\\boxed{\mathsf{N\equiv73~(mod~100)}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%2841%5E2%29%5E5%5Ccdot73%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv1.681%5E5%5Ccdot73%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%28-19%29%5E5%5Ccdot73%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv%5B%28-19%29%5E2%5D%5E2%5Ccdot%28-19%29%5Ccdot%28-27%29%5D%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv361%5E2%5Ccdot513%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv-39%5E2%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv1.521%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv21%5Ccdot13%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cmathsf%7BN%5Cequiv273%7E%28mod%7E100%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Cboxed%7B%5Cmathsf%7BN%5Cequiv73%7E%28mod%7E100%29%7D%7D "\mathsf{N\equiv(41^2)^5\cdot73~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv1.681^5\cdot73~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv(-19)^5\cdot73~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv[(-19)^2]^2\cdot(-19)\cdot(-27)]~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv361^2\cdot513~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv-39^2\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv1.521\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv21\cdot13~(mod~100)}\\\\\mathsf{N\equiv273~(mod~100)}\\\\\boxed{\mathsf{N\equiv73~(mod~100)}}")
Portanto os dois últimos algarismos será o 73.
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Encontrar os dois últimos algarismos de um número é equivalente a achar o resto da divisão deste número por 100. Portanto vamos encontrar o resto da divisão de
Portanto os dois últimos algarismos será o 73.
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superaks:
Realmente a resposta está errada.. Cometi um erro bem no inicio. Vou corrigir.
Corrigido
Porque -71 e 29 são restos equivalentes na divisão por 100
Veja, -71 + 100 = 29
Não é errado eu fazer o seguinte procedimento na divisão: 71 / 100 = 1 e o resto seria -29
Perceba que 71 não pode ser dividido por 100 de forma que deixe um inteiro. Mas se multiplicarmos 100 por 1, dará 100 e o resto deverá ser -29.
Vamos dizer que peguei 29 emprestado com você e agora fiquei devendo 29
Olha o (mod) ai! kkk ótima respostas Superaks !
Eu tinha resolvido uma outra tarefa do Cesar semelhante a essa também usando mod, mas nessa eu simplesmente esqueci que poderia usar pra determinar o resto dos dois algarismos.. Tinha chegado em uma gambiarra tão grande que eu quase desisti, depois me toquei que seria facilmente resolvido através de mod. Vlw Optmistic ! =)
Maravilha !
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