Question

Determine os complexos z1 e z2 na forma trigonometrica, sabendo que z1xz2=48(cos 150°+ i sen 150°) e z1/z2=1/3(cos 10°+ i sen 10°).

Answer 1

Um número complexo na forma trigonométrica pode ser escrito na forma:

z = |z|.e^i∅

onde |z| é o módulo de z e ∅ é o ângulo de z.

Na multiplicação de dois números complexos z1 e z2, o resultado é da forma:

z1*z2 = |z1|*|z2|.e^i(∅1+∅2)

Na divisão de dois números complexos z1 e z2, o resultado é da forma:

z1/z2 = |z1|/|z2| . e^i(∅1-∅2)

Sabendo disso, e do enunciado, temos para os módulos:

|z1|*|z2| = 48

|z1|/|z2| = 1/3 → |z2| = 3|z1|

|z1|*3|z1| = 48

|z1|² = 16

|z1| = 4 e |z2| = 12

Para os ângulos:

∅1+∅2 = 150

∅1-∅2 = 10 → ∅1 = 10 + ∅2

10+∅2+∅2 = 150

2∅2 = 140

∅2 = 70º e ∅1 = 80º

Os números z1 e z2 são:

z1 = 4(cos 80º + i.sen 80º)

z2 = 12(cos 70º + i.sen 70º)