Question

Determine os ângulos internos ao triangulo ABC, sendo
A= ( 3, -3 )
B= ( 3, 1 )
C= (6, -3 )

Answer 1

∡ A = 90º  ;  ∡B = 36,87 º  e ∡ C = 53,13 º

Para obter estes valores usou-se:

• Fórmula de distância de dois pontos (dadas as suas coordenadas)

• Teorema de Pitágoras
  
• Função Inversa do seno

• Soma dos ângulos internos de um triângulo

Em qualquer triângulo existem relações entre os ângulos internos e os

lados do triângulo.

1ª Propriedade → Lados iguais opõem-se a ângulos internos iguais, e

vice versa.

2ª Propriedade → Se lados todos diferentes , ângulos internos todos

com diferentes amplitudes

3ª Propriedade → Se as dimensões dos lados são :

3 ; 4  e 5 o triângulo é retângulo

Cálculo da dimensão de cada lado, dadas as coordenadas dos

extremos.

A distância de dois pontos genéricos A ( x1 ; y1 ) e  B (x2 ; y2 ) tem a

seguinte fórmula:

$dAB = \sqrt{( x_{2} -x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2 }$

Neste caso

$dAB = \sqrt{( 3-3)^2+(1-(-3)})^2 }$

$dAB = \sqrt{0^2+(1+3})^2 }=\sqrt[2]{4^2} =4$

$dBC = \sqrt{(6-3)^2+(-3-1)^2 }$

$dBC = \sqrt{(3)^2+(-4)^2 }=\sqrt{9+16} =\sqrt{25}=5$

$dAC = \sqrt{(6-3)^2+(-3-(-3))^2 }$

$dAC = \sqrt{3^2+(-3+3)^2 }=\sqrt{9+0} =\sqrt{9} =3$

Apliquemos o Teorema de Pitágoras

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

O maior lado  é BC = 5  

vamos verificar se é hipotenusa de um triângulo retângulo

5² = 4² + 3²

25 = 16 + 9

25 = 25       verificado é um Triângulo retângulo em A

Já sabemos um ângulo interno

∡ A = 90º

Agora há várias maneiras de obter as amplitudes dos outros dois ângulos internos.

$sen(B)=\dfrac{cateto....oposto}{hipotenusa} =\dfrac{3}{5}$

Utilizando a noção de função inversa do seno ( $sen^{-1}$ ) podemos calcular

em calculadora, qual a amplitude de ângulo B

$sen^{-1}(B)=\dfrac{3}{5}$

Este cálculo pode ser escrito de outra maneira:

$arcsen(\dfrac{3}{5})=?$

B = 36,86989764....º

∡B = 36,87 º  ( aproximadamente )

Agora posso calcular o ângulo C através do conhecimento de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.

∡ C = 180 - ( 90 + 36,87 )

∡ C = 180 - 126,87

∡ C = 53,13 º    

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Como perceber , em menos de 1 segundo que 3 ; 4  e 5 são lados de

um triângulo retângulo?

Existem uma infinidade de chamados Ternos Pitagóricos ( grupo de três

valores numéricos) que dão as dimensões dos lados de triângulos

retângulos.

O mais simples deles é :  3 ; 4  e 5.

Mas múltiplos, positivos deste terno, também são ternos Pitagóricos.

Exemplo:

6 ; 8  e 10

Verificação → 10² = 8² + 6²  ⇔ 100 = 64 + 36  ⇔ 100 = 100

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Para calcular as dimensões dos outros dois ângulos internos agudos ,

podia usar-se a Lei dos Cossenos.

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Em anexo tem o gráfico deste triângulo retângulo.

O cálculo das amplitudes dos ângulos internos, no gráfico, é feito

automaticamente pelo aplicativo usado.

Bons estudos.

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( ∡ ) ângulo     ( ⇔ )

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.