Question

determine os ângulos internos ao triangulo ABC . sendo A(3,-3,3) B(2,-1,2) e C(1,0,2) como resolver essa questão

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos concluir que a medida dos ângulos internos do triângulo, sendo eles

• Entre AB e AC $\bf\to\theta= 10,89^o$;
• Entre AB e BC $\bf\to\theta= 30^o$;
• Entre AC e BC $\bf\to\theta= 19,11^o$.

Explicação

Temos os seguintes pontos:

$\bf A(3,-3,3), \: B(2,-1,2) \: e \: C(1,0,2)$

A partir destes pontos a questão pergunta quais os ângulos internos deste triângulo.

• Para determinar os ângulos internos do triângulo formado por estes pontos acima, podemos usar um pouco de algebra linear, uma vez que a partir de dois pontos torna-se possível determinação de um vetor.

• Vetores:

Como o triângulo possui 3 lados, cada lado pode ser dado por vetor. Tomemos então os vetores $\vec{AB} ,\: \vec{AC} \:e\: \vec{BC}$. Vale ressaltar que um vetor é dado pela subtração das coordenadas do ponto final que o compõe pelas coordenadas do ponto inicial. Como por exemplo o vetor $\bf\vec{GH} = H - G$. Sabendo disto, podemos partir para a montagem dos 3 vetores.

$\begin{cases}\vec{AB} = B-A \: \to \:\vec{AB} = ( - 1,2 , - 1) \\ \vec{AC} = C -A \: \to \: \vec{AC} = ( - 2,3,- 1 )\\ \vec{BC} = C -B \: \to \:\vec{BC} = ( - 1,1,0)\end{cases}$

• Ângulo entre os vetores:

Tendo determinado os vetores, estamos aptos para calcular o ângulo entres eles. Para isto usaremos a relação abaixo:

$\: \boxed{ \rm\cos( \theta) = \frac{ a \cdot b}{ | |a| | \cdot | |b| | } , \: \theta < 180 {}^{o} }$

• Onde o termo do numerador é o produto escalar entre os vetores envolvidos e o denominador é dado pela multiplicação das normas dos vetores.

Lembrando que o produto escalar é dado pela soma da multiplicação de coordenada a coordenada. Matematicamente:

$\begin{cases}u=(u_x,u_y,u_z) \: \: e \: \: v = (v_x,v_y,v_z) \\ \\ u \cdot v = (u_x.v_x + u_y.v_y + u_y,v_z) \end{cases}$

Já a norma é basicamente o módulo de um vetor, ou seja, a soma do quadrado das coordenadas do vetor analisado. Matematicamente:

$\bullet\:\:u = u_x, \: u_y, \: u_z \: \to \: | |u| | = \sqrt{( u_x) {}^{2} + ( u_y) {}^{2} + (u_z ) {}^{2} }$

Seguindo estes textos, vamos calcular o ângulo para cada uma das combinações do vetores, isto é, AB e AC; AC e BC; AB e BC.

• Ângulo entre os lados AB e AC:

$\cos( \theta) = \frac{\vec{AB} \cdot\vec{AC} }{ || \vec{AB} || \cdot || \vec{AC} || } \: \to \: \frac{ ( - 1,2 , - 1) \cdot ( - 2,3,- 1 )\ }{ \sqrt{1 {}^{2} + 2 {}^{2} + 1 {}^{2} } \cdot \sqrt{2 {}^{2} + 3 {}^{2} + 1 {}^{2} } } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{ (- 1). (- 2) + 2.3 +( - 1 ). (- 1)}{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{14} } \: \to \: \: \cos( \theta) = \frac{9}{ \sqrt{84} } \\ \\ \theta = \arccos \left( \frac{9}{ \sqrt{84} } \right) \: \: \to \: \: \boxed{\theta \approx \: 10,89^o}$

• Ângulo entre os lados AB e BC:

$\cos( \theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC} }{ || \vec{AB} || \cdot || \vec{BC} || } \: \to \: \frac{ ( - 1,2 , - 1) \cdot ( - 1,1,0 )\ }{ \sqrt{1 {}^{2} + 2 {}^{2} + 1 {}^{2} } \cdot \sqrt{1{}^{2} + 1 {}^{2} + 0 {}^{2} } } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{ (- 1). (- 1) + 2.1 +( - 1 ). 0}{ \sqrt{6} \cdot \sqrt{2} } \: \to \: \: \cos( \theta) = \frac{3}{ \sqrt{12} } \\ \\ \theta = \arccos \left( \frac{3}{ \sqrt{12} } \right) \: \: \to \: \: \boxed{\theta \approx \: 30{}^{o} }$

• Ângulo entre os lados BC e AC:

$\cos( \theta) = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BC} }{ || \vec{AC} || \cdot || \vec{BC} || } \: \to \: \frac{ ( - 2,3 , - 1) \cdot ( - 1,1,0 )\ }{ \sqrt{2 {}^{2} + 3{}^{2} + 1 {}^{2} } \cdot \sqrt{1{}^{2} + 1 {}^{2} + 0 {}^{2} } } \\ \\ \cos( \theta) = \frac{ (- 2). (- 1) + 3.1 +( - 1 ). 0}{ \sqrt{14} \cdot \sqrt{2} } \: \to \: \: \cos( \theta) = \frac{5}{ \sqrt{28} } \\ \\ \theta = \arccos \left( \frac{5}{ \sqrt{28} } \right) \: \: \to \: \: \boxed{\theta \approx \: 19.11 {}^{o} }$

Concluímos então que estes são os três ângulo do triângulo em questão.

Espero ter ajudado

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