Question

Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico: z=4+x-y e acima do quadrado R=(0,1) x (-2,3)

Answer 1

Resposta: 10 u.v

Como se trata de um paraboloide hiperbólico, a equação deve ser z = 4 + x² - y².

Podemos usar para calcular o volume do sólido uma dupla integral, em que os limites de integração são os seguintes:

0 <= x <= 1  

-2 <= y <= 3

Portanto:

$\int\limits^1_0 \int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dydx$

Resolvendo a integral em y e considerando x como uma constante:

$\int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dy  = 4y+yx^2-\dfrac{y^3}{3} |_{-2}^3\\\\\int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dy  = (12+3x^2-9)-(-8-2x^2-\dfrac{8}{3})\\\int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dy  = \dfrac{25}{3} + 5x^2$

Resolvendo a integral em x com o valor encontrado em y:

$\int\limits^1_0 {\dfrac{25}{3} + 5x^2} \, dx = \dfrac{25x}{3} + \dfrac{5x^3}{3} = \dfrac{5x^3 + 25x}{3} |_0^1\\\int\limits^1_0 {\dfrac{25}{3} + 5x^2} \, dx =\dfrac{5.1^3 + 25.1}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$