Question

determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico: z=4+x-y e acima do quadrado R=(0,1) x (-2,3)

Answer 1

O volume do sólido é igual a 20 unidades de volume.

Para calcular o volume do sólido acima do quadrado localizando no plano xy, utilizamos uma integral dupla, dada a seguir com 0 ≤ x ≤ 1 e -2 ≤ y ≤ 3.

$V = \int\limits^1_0 \int\limits^3_{-2} {4+x-y} \, dydx$

Para calcular, devemos considerar uma das variáveis constante e integrar em relação a outra. Considerando x constante, a integral em relação a y dará um resultado após a aplicação dos limites, assim, este resultado será então integrado em relação a x para obter o valor do volume:

$V = \int\limits^1_0 {\left(4y+xy-\dfrac{y^2}{2}\right)|_{-2}^3} \, dx$

$V = \int\limits^1_0 {\left(12+3x-\dfrac{9}{2}\right) - \left(-8-2x-2\right) \, dx$

$V = \int\limits^1_0 {\left(22+5x-\dfrac{9}{2}\right) \, dx$

$V = \left(22x+\dfrac{5x^2}{2}-\dfrac{9x}{2}\right)|^1_0$

$V = 22+\dfrac{5}{2}-\dfrac{9}{2}$

$V = 20\ u.v.$