Question

determine o volume do solido que esta abaixo do paraboloide hiperbolico z=4+x²-y² e acima do quadrado R=[0,1] x [-2,3]

Answer 1

O volume do sólido é 10 unidades de volume.

O volume pode ser calculado por uma integral dupla onde os limites de integração são 0 ≤ x ≤ 1 e -2 ≤ y ≤ 3, então temos:

$\int\limits^1_0 \int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dydx$

Resolvendo primeiro a integral em y, temos que considerar x como constante:

$\int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dy  = 4y+yx^2-\dfrac{y^3}{3} |_{-2}^3\\\\\int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dy  = (12+3x^2-9)-(-8-2x^2-\dfrac{8}{3})\\\int\limits^3_{-2} {4+x^2-y^2} \, dy  = \dfrac{25}{3} + 5x^2$

Agora, resolvendo a integral em x com o valor encontrado:

$\int\limits^1_0 {\dfrac{25}{3} + 5x^2} \, dx = \dfrac{25x}{3} + \dfrac{5x^3}{3} = \dfrac{5x^3 + 25x}{3} |_0^1\\\int\limits^1_0 {\dfrac{25}{3} + 5x^2} \, dx =\dfrac{5.1^3 + 25.1}{3} = \dfrac{30}{3} = 10$