Question

determine o volume do solido que esta abaixo da paraboloide hiperbolico z=4 + x²-y² e acima do quadrado r=(0,1) x (-2,3)

Answer 1

O volume do sólido é igual a 10 unidades de volume.

Para calcular o volume do sólido, devemos integrar a função z na região D, onde D equivale a 0 ≤ x ≤ 1 e -2 ≤ y ≤ 3 (integral dupla). Logo, temos a seguinte integral:

$V = \int\limits^1_0 \int\limits^3_{-2} {z} \, dydx$

Para resolver, primeiramente devemos calcular a integral em dy, ou seja:

$\int\limits^3_{-2} {z} \, dy = \int\limits^3_{-2} {4 + x^2 - y^2} \, dy\\\int\limits^3_{-2} {z} \, dy = \left(4y + yx^2 - \dfrac{y^3}{3}\right)|_{-2}^3\\\int\limits^3_{-2} {z} \, dy = \left(4.3 + 3x^2 - \dfrac{3^3}{3}\right) - \left(4(-2) - 2x^2 - \dfrac{(-2)^3}{3}\right)\\\int\limits^3_{-2} {z} \, dy = \left(3 + 3x^2\right) - \left(-8 - 2x^2 + \dfrac{8}{3}\right)\\\int\limits^3_{-2} {z} \, dy = \dfrac{25}{3} + 5x^2$

Calculando agora em dx, temos que o volume é:

$\int\limits^1_0 {\dfrac{25}{3} + 5x^2} \, dx = \dfrac{25x}{3} + \dfrac{5x^3}{3}|_0^1\\\int\limits^1_0 {\dfrac{25}{3} + x^2} \, dx = \dfrac{25}{3} + \dfrac{5}{3} = \dfrac{30}{3} = 10\ u.v$