Question

Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas retas $y=2x/3$, $x=3$ e $y=2$.** Busco uma resposta em termos de integral **

Answer 1

Calcular o valor da Área delimitada pela região (y = 0 a 2) e (x = 0 a 3):
$A(y)=\pi(2-y)^2$
que vai ser:
$\displaystyle A(y)=\pi\left(2-\frac{2x}{3}\right)^2\implies A(x)=\pi\left(4-\frac{8x}{3}+\frac{4x^2}{9}\right)\\\\\pi\left(\frac{108-72x+12x^2}{27}\right)\implies A(x)=\pi\left(\frac{4x^2-24x+36}{9}\right)$
pelo o que sabemos:
$\displaystyle V=\int\limits_{a}^{b}\,A(x)\,dx$
então:
$\displaystyle V=\pi\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{9}\cdot4x^2-24x+36\right)dx=\frac{\pi}{9}\cdot\left(\frac{4}{3}x^3-12x^2+36x+C\right|\limits_{0}^{3}\\\\ V=\frac{\pi}{9}\cdot\left(\frac{4}{3}27-108+108\right)-\frac{\pi}{9}\cdot\left(\frac{4}{3}\cdot0-0+0\right)=\frac{\pi}{9}(36)=\boxed{\frac{\pi36}{9}}\\\\ \boxed{V=\frac{\pi36}{9}U.C^3}$
onde U.C é unidade de comprimento.

Answer 2

Pelo método das cascas cilindricas:
O volume de um sólido rotacionado em torno do eixo y é dado por:
$\displaystyle \int_{a}^{b}2\pi xf(x)\,dx,~~~~0\ \leq a\ \textless \ b$

$\displaystyle V(x)=\int\limits_{0}^{3}2\pi x\left(2-\frac{2x}{3}\right)\,dx=2\pi\int\limits_{0}^{3}2x-\frac{2x^2}{3}\,dx=2\pi x^2-\frac{4\pi x^3}{9}\right|\limits_{0}^{3}\\\\ =\lim_{x\to3}\left(2\pi x^2-\frac{4\pi x^3}{9}\right)-\lim_{x\to0}\left(2\pi x^2-\frac{4\pi x^3}{9}\right)\\\\=2\pi9-\frac{4\cdot27\cdot\pi}{9}-0-0=18\pi-12\pi=6\pi$