Question

Determine o volume do sólido obtido pela rotação da curva da função f(x)=√(3x+5) em torno do eixo x no intervalo[-1,1].

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{V=10\pi~u.~v}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos o volume de um sólido de revolução, gerado pela rotação de uma curva em torno de um dos eixos coordenados, utilizamos a fórmula para a rotação em torno do eixo $x$:

$V=\pi\displaystyle{\int_a^b [f(x)]^2\,dx$, em que  $f(x)$ é a função cujo gráfico é a curva e o intervalo fechado $[a,~b]$ delimita o sólido.

Então, seja a função $f(x)=\sqrt{3x+5}$. Buscamos o volume do sólido obtido pela rotação desta curva em torno do eixo $x$ no intervalo $[-1,~1]$.

Substituindo estes dados na fórmula, teremos:

$V=\pi\displaystyle{\int_{-1}^1 (\sqrt{3x+5})^2\,dx$

Calcule a potência

$V=\pi\displaystyle{\int_{-1}^1 |3x+5|\,dx$

Observe que, neste intervalo, a função é contínua e estritamente positiva, logo desconsideramos o módulo. Assim, teremos:

$V=\pi\displaystyle{\int_{-1}^1 3x+5\,dx$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma da integral das funções.
• A integral do produto entre uma constante e uma função é dada por: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx$.
• A integral de uma potência é dada por: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1},~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função, contínua em um intervalo $[a,~b]$, é calculada de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$V=\pi\cdot\left(\displaystyle{\int_{-1}^13x\,dx+\int_{-1}^15\,dx\right)$

Aplique a propriedade da constante

$V=\pi\cdot\left(\displaystyle{3\cdot\int_{-1}^1x\,dx+5\cdot\int_{-1}^1\,dx\right)$

Aplique a regra da potência, lembrando que $\displaystyle{\int\,dx=\int1\,dx=\int x^0\,dx$, logo

$V=\pi\cdot\left(\displaystyle{3\cdot\dfrac{x^2}{2}+5x~\biggr|_{-1}^1\right)$

Aplique os limites de integração

$V=\pi\cdot\left[\displaystyle{3\cdot\dfrac{1^2}{2}+5\cdot1-\left(3\cdot\dfrac{(-1)^2}{2}+5\cdot(-1)\right)\right]$

Calcule as potências e multiplique os valores

$V=\pi\cdot\left[\displaystyle{\dfrac{3}{2}+5-\left(\dfrac{3}{2}-5\right)\right]$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$V=\pi\cdot\left[\displaystyle{\dfrac{3}{2}+5-\dfrac{3}{2}+5\right]$

Some e multiplique os valores

$V=10\pi$

Este é o volume deste sólido.