Question

Determine o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo y da região limitada
por y = 2x
2 − x
3
e y = 0.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre cálculo integral e sólidos de revolução.

Devemos determinar o volume do sólido obtido pela rotação ao redor do eixo $y$ da região limitada pelas curvas $y=2x^2-x^3$ e $y=0$.

Primeiro, determinamos o intervalo em que este sólido está compreendido, igualando as equações das curvas:

$2x^2-x^3=0$

Fatoramos a expressão à esquerda da igualdade, de modo que tenhamos

$x^2\cdot(2-x)=0$

Para que um produto de dois ou mais fatores seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero. Assim, teremos:

$x^2=0~~\bold{ou}~~2-x=0$

Calcule a raiz quadrada em ambos os lados da primeira igualdade e some $x$ em ambos os lados da segunda igualdade

$x=0~~\bold{ou}~~x=2$

Logo, o intervalo em que este sólido está comprometido é $[0,~2]$.

O volume deste sólido gerado pela rotação da região entre as curvas ao redor do eixo $y$ pode ser calculado utilizando o Método das Cascas:

Seja $R$ a região compreendida entre o gráfico da curva $y=f(x)$ e a reta $y=0$ no intervalo fechado $[a,~b]$. Seu volume pode ser calculado pela integral: $\displaystyle{V=2\pi\cdot\int_a^b x\cdot f(x)\,dx}$.

Então, o volume deste sólido será calculado pela integral:

$\displaystyle{V=2\pi\cdot\int_0^2 x\cdot (2x^2-x^3)\,dx}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{V=2\pi\cdot\int_0^2 2x^3-x^4\,dx}$

Para calcular esta integral, lembre-se que:

• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções: $\displaystyle{\int g(x)\pm h(x)\,dx=\int g(x)\,dx\pm\int h(x)\,dx}$.
• A integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrita como: $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1}$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$ é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^bf(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{V=2\pi\cdot\left(\int 2x^3\,dx-\int x^4\,dx\right)~\biggr|_0^2}$

Aplique a regra da constante e da potência

$\displaystyle{V=2\pi\cdot\left(2\cdot\int x^3\,dx-\int x^4\,dx\right)~\biggr|_0^2}\\\\\\ V=2\pi\cdot\left(2\cdot\dfrac{x^{3+1}}{3+1}-\dfrac{x^{4+1}}{4+1}\right)~\biggr|_0^2$

Some os valores nos expoentes e denominadores e multiplique os termos

$V=2\pi\cdot\left(2\cdot\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{5}}{5}\right)~\biggr|_0^2\\\\\\ V=2\pi\cdot\left(\dfrac{x^{4}}{2}-\dfrac{x^{5}}{5}\right)~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$V=2\pi\cdot\left[\dfrac{2^{4}}{2}-\dfrac{2^{5}}{5}-\left(\dfrac{0^{4}}{2}-\dfrac{0^{5}}{5}\right)\right]$

Calcule as potências e some os valores

$V=2\pi\cdot\left[8-\dfrac{32}{5}\right]\\\\\\ V=2\pi\cdot\dfrac{8}{5}\\\\\\ V=\dfrac{16\pi}{5}~\bold{u.~v}$

Observe na imagem em anexo, gerada pelo software Wolfram Alpha, o sólido obtido pela rotação da região entre as curvas ao redor do eixo $y$.