Question

Determine o volume do sólido obtido com a rotação de cada região em torno do eixo dado. A região, no primeiro quadrante, limitada acima pela curva y = x^2, abaixo pelo eixo x e à direita pela reta x = 1 em torno da reta x = - 1 .

Answer 1

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Volume de um sólido de revolução

pelo método dos anéis circulares

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\displaystyle\sf V=\pi\int_a^b[R^2-r^2]~dx}}}}$

$\tt dados:\boxed{\begin{array}{l}\sf R=1-(-1)=2\\\sf r=x^2-(-1)=x^2+1\end{array}}$

$\displaystyle\sf V=\pi\int_0^1[2^2-(x^2+1)^2]dx\\\displaystyle\sf V=\pi\int_0^1[4-x^4-2x^2-1]dx=\int_0^1[3-x^4-x^2]dx\\\sf V=\pi\bigg[3x-\dfrac{1}{5}x^5-\dfrac{1}{3}x^3\bigg]_0^1\\\sf V=\pi\bigg[3\cdot1-\dfrac{1}{5}\cdot1^5-\dfrac{1}{3}\cdot1^3\bigg]\\\sf V=\pi\bigg[3-\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3}\bigg]\\\sf V=\pi\bigg[\dfrac{45-3-5}{15}\bigg]\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf V=\dfrac{37}{15}\pi~u\cdot v}}}}$