Question

Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada pelas funções y = 4 – x2
e y = 2 – x quando gira ao redor do eixo x

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{V=\dfrac{108\pi}{5}~u.~v}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos o volume de um sólido obtido pela rotação de uma região delimitada por duas curvas, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

O volume de um sólido de revolução é calculado pela fórmula:

$\displaystyle{V=\pi\cdot\int_a^b A(x)\,dx$.

No caso da região compreendida entre duas funções, a função área $A(x)$ assume a forma:

$A(x)=[f(x)]^2-[g(x)]^2$, tal que no intervalo que esta região está definida, $f(x)\geq g(x)$.

Primeiro, esboçamos o gráfico das funções para encontrarmos a região. Veja a imagem em anexo.

Então, calculamos seus pontos de intersecção, que serão os limites de integração. Para isso, igualamos as funções:

$4-x^2=2-x$

Isole os termos ao lado esquerdo da igualdade, a fim de encontrarmos uma equação

$-x^2+x+2=0$

Utilizando a fórmula resolutiva, temos

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\cdot(-1)\cdot2}}{2\cdot(-1)}$

Calculando a potência e multiplicando os valores, temos

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{-2}$

Some os valores

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}}{-2}$

Sabendo que $9=3^2$, temos

$x=\dfrac{-1\pm3}{-2}$

Separe as soluções

$x=\dfrac{-1+3}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{-1-3}{-2}$

Some os valores e simplifique as frações

$x=\dfrac{2}{-2}~~~\mathtt{ou}~~~x=\dfrac{-4}{-2}\\\\\\\ x=-1~~~\mathtt{ou}~~~x=2$

Então, o intervalo que contém esta área e nossos limites de integração é $-1\leq x\leq 2$.

Observe o comportamento da função neste intervalo. Vemos que em todo este intervalo, $4-x^2\geq 2-x$, logo nossa função área será:

$A(x)=(4-x^2)^2-(2-x)^2$

Assim, o volume será calculado por meio da integral:

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_{-1}^2(4-x^2)^2-(2-x)^2\,dx$

Expanda os binômios

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_{-1}^216-8x^2+x^4-4+4x-x^2\,dx$

Some e reorganize os termos semelhantes

$V=\displaystyle{\pi\cdot\int_{-1}^2x^4-9x^2+4x+12\,dx$

Calcule a integral

$V=\pi\cdot\left(\dfrac{x^5}{5}-3x^3+2x^2+12x\right)~\biggr|_{-1}^2$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema fundamental do cálculo

$V=\pi\cdot\left[\left(\dfrac{2^5}{5}-3\cdot2^3+2\cdot2^2+12\cdot2\right)-\left(\dfrac{(-1)^5}{5}-3\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)^2+12\cdot(-1)\right)\right]$

Calcule as potências e multiplique os valores

$V=\pi\cdot\left[\left(\dfrac{32}{5}-24+8+24\right)-\left(-\dfrac{1}{5}+3+2-12\right)\right]$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$V=\pi\cdot\left[\dfrac{32}{5}-24+8+24+\dfrac{1}{5}-3-2+12\right]\\\\\\\\ V=\dfrac{108\pi}{5}~u.~v$

Este é o volume deste sólido de revolução. Veja este sólido na imagem em anexo.