Question

Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro y=x^2 e pelos planos z=0 e y+z=1

Answer 1

Eu diria que a maior dificuldade aqui eh vizualizar. Ainda mais que y=x² nao eh um cilindro. Sugiro que se vc estiver tendo dificuldade apenas com a visualizacao que use um grafico 3d.

Vemos que as 3 equacoes se encontram nos pontos: (-1,1,0) e (1,1,0)

Agora vamos definir os limites de todo mundo:

0≤z≤1-y
x²≤y≤1
-1≤x≤1

Integremos:

$\int\limits^{1}_{-1} { \int\limits^1_{x^2} { \int\limits^{1-y}_0 {} \, dz } \, dy } \, dx \\\\\\ \int\limits^{1-y}_0 {} \, dz=[z]^{1-y}_0=1-y\\\\\\ \int\limits^1_{x^2} {1-y} \, dy=\left [ y-\dfrac{y^2}{2}\right ]^1_{x^2}=\left[1-\dfrac12\right ]-\left [x^2-\dfrac{x^4}{2}\right]=\dfrac{x^4}{2}-x^2+\dfrac12\\\\\\ \int\limits^1_{-1} {\dfrac{x^4}{2}-x^2+\dfrac12} \, dx =$

$\left[\dfrac{x^5}{10}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x}{2}\right ]^1_{-1}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{3}+\dfrac12-\left[-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{3}-\dfrac12\right]=\\\\\\\dfrac15-\dfrac23+1=\boxed{\dfrac{8}{15}}$