Question

Determine o volume do sólido gerado pela rotação ,em torno do eixo y, da região R delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y=1/x , x=0 ,y=1/4 e y=4

Answer 1

Queremos a revolução em torno do eixo y, logo a função precisa estar em função de y:

$y = \frac{1}{x} \therefore x = \frac{1}{y}$

Logo temos a seguinte integral:

$\pi \int\limits^{4}_{\frac{1}{4}} {\left (\frac{1}{y}\right )^2} \, dx = \pi \int\limits^{4}_{\frac{1}{4}} {\frac{1}{y^2}} \, dx =\pi \int\limits^{4}_{\frac{1}{4}} {y^{-2}} \, dx = \pi \left ( \frac{y^{-1}}{-1}\right )\limits^{4}_{\frac{1}{4}} = -\pi \left ( \frac{1}{y}\right )\limits^{4}_{\frac{1}{4}} \\ \\ \\ -\pi \left ( \frac{1}{y}\right )\limits^{4}_{\frac{1}{4}} = -\pi \left ( \frac{1}{4} - 4\right ) = -\pi \left (-\frac{15}{4}\right ) = \boxed{\frac{15 \pi}{4}}$