Matemática, perguntado por luisfelipecr2003, 6 meses atrás

Determine o volume do sólido formado pela revolução, em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de f(x)= - x^2 + x e pelo eixo x.

Soluções para a tarefa

Respondido por Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados através do Método dos Discos, encontramos que o volume do sólido é $\boxed{\bf V= \frac{\pi}{30} \:u.v}\\$ .

Explicação

Temos a seguinte função:

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \boxed{\bf y = - x {}^{2} + x}$ .

A questão quer saber qual o volume do sólido formado pela rotação no eixo x, da área formada entre a função f(x) e o eixo x.

Área entre funções:

Como o sólido é gerado através da área formada entre as funções, temos então que iniciar fazendo a determinação da mesma. Para isso, basta fazer a subtração da função que limita superiormente pela função que limita inferiormente. Analisando o gráfico anexado, podemos ver que f(x) limite superiormente e o eixo x é o inferiormente. Então:

$\begin{cases}G(x) = f(x) - {\rm Eixo_{ x } } \\ G(x) = - x {}^{2} + x - 0\\ G(x) = - x {}^{2} + x \end{cases}$

Limites de integração:

Observe que no enunciado não é informado nenhum intervalo a qual devemos integrar, mas sabemos que a área é limitada por f(x) e o eixo x, ou seja, basta calcularmos a interseção entre estas funções, isto é, calcular as raízes f(x) = 0.

$f(x) \: \: \cap \: \: {\rm Eixo_{ x}} \to \begin{cases} - x {}^{2} + x = 0 \\ - x.(x - 1) = 0 \\ x = 0 \: \: {\rm ou} \: \: x = 1\end{cases} \\$

Portanto temos que o intervalo é [0,1].

Diferencial do volume.

Para calcular o volume do sólido, vamos retirar uma pequena fatia perpendicularmente ao eixo x. Se você observar pela imagem anexada, trata-se de um cilindro infinitesimal. O volume de um cilindro é dado pela seguinte fórmula:

$\: \: \: \: \:\:\:\: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \:\:\: \: \: \: \: \: \boxed{V = \pi \: . \: r {}^{2}\: . \: h}$

Como o cilindro gerado através da secção é infinitesimal, isto é, muito pequeno, então podemos dizer que ele ocupará um volume tão "insignificante" que ele será dado por uma diferencial de volume.

$\: \: \: \: \:\:\:\: \: \: \: \:\:\:\: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \: dV = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h$

A altura também segue a mesma lógica, já que é infinitesimal. Como ela é referente ao eixo x, digamos então que ela será uma diferencial de x.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\: \: \:\:\: \: \: \: dV = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: dx$

Já em relação ao raio, podemos ver que ele é equivalente a G(x), isto quer dizer que ele varia de acordo com a função, Então podemos dizer que o raio é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:dV = \pi \: . \: [G(x)] {}^{2} \: . \: dx \: \\$

Como queremos saber o volume todo no intervalo de [0,1], podemos utilizar a a integral definida já que ela soma estes infinitos pedaços para gerar uma aproximação do real. Dito isto, vamos integrar em ambos os lados.

$\: \: \: \:\:\:\: \:\:\:\: \: \int_{0}^{1}dV = \int_{0}^{1}\pi \: . \: [G(x)]^{2} \: . \: dx \\ \\ \:\:\:\:\:\:\: \: \: \:\:\:\boxed{ V = \pi \int_{0}^{1}[G(x)]^{2} \: . \: dx }$ .

Esta expressão que montamos é conhecida como o método dos discos.

Integração:

Para finalizar a questão, vamos substituir a função na expressão do Método dos Discos e encontrar o volume do sólido.

$V = \pi \int_{0}^{1}[ - x {}^{2} + x ]^{2} \: dx \:\: \to\:\:V = \pi \int_{0}^{1}x {}^{4} - 2x {}^{3} + x {}^{2} \: dx \\ \\ V = \pi \: . \: \left[ \frac{x {}^{4 + 1} }{4 + 1} - 2. \frac{x {}^{3 + 1} }{3 + 1} + \frac{x {}^{2 + 1} }{2 + 1} \right] \bigg | _{0}^{1} \:\:\to\:\: V = \pi \: . \: \left[ \frac{x {}^{5} }{5} - \frac{x {}^{4} }{2} + \frac{x {}^{3} }{3} \right] \bigg | _{0}^{1} \\ \\ V = \pi \: . \: \left[ \frac{1 {}^{5} }{5} - \frac{1 {}^{4} }{2} + \frac{1{}^{3} }{3} \right] \:\:\to\:\: \boxed{\bf V = \frac{\pi}{30} \: u \:. \: v }$