Question

Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u= (3, -1, 4), v= (2, 0, 1) e w= (-2, 1, 5)

Answer 1

O volume do paralelepípedo será o determinante da matriz dada pelos 3 vetores:

 -2             5
| 3     -1     4  |
| 2      0     1  |  ⇒   2 + 8 - ( - 10 + 3)
| -2     1     5  |         2 + 8 + 10 - 3
  3             4                    17

Answer 2

✅Após ter resolvido todos os cálculos, concluímos que o volume do paralelepípedo definido pelos três vetores dados é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = 17\:u.v\:\:\:}} \end{gathered} }$

Sejam os vetores dados:

              $\Large\begin{cases}\vec{u} = (3, -1, 4)\\\vec{v} = (2, 0, 1)\\\vec{w} = (-2, 1, 5) \end{cases}$

Se:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}, \vec{v}\:e\:\vec{w}\:\in\:\mathbb{R}^{3} \end{gathered}$

Então, o volume "V" do paralelepípedo é o módulo do produto misto desses três vetores, ou seja:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}V = |\vec{u}\cdot \vec{v}\wedge \vec{w}| \end{gathered}$

Calculando o produto misto, temos:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}3 & -1 & 4\\2 & 0 & 1\\-2 & 1 & 5 \end{vmatrix}\begin{matrix}3 & -1\\2 & 0\\-2 & 1 \end{matrix}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}= 3\cdot0\cdot5 + (-1)\cdot 1\cdot (-2) + 4\cdot2\cdot1 - (-1)\cdot2\cdot5 - 3\cdot1\cdot1 - 4\cdot0\cdot(-2) \end{gathered}$$\Large\displaystyle\begin{gathered}= 0 + 2 + 8 + 10 - 3 - 0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}= 17 \end{gathered}$

Então, temos:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}V = |\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w}| = |17| = 17\:u.v \end{gathered}$

✅ Portanto, o volume do paralelepípedo é:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} V = 17\:u.v\end{gathered}$

saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/7787169
2. https://brainly.com.br/tarefa/12615008