Question

Determine o volume de um prisma triangular regular sabendo que sua área lateral é $120\sqrt{3} m^{2}$ e que sua área total é $152\sqrt{3} m^{2}$.

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Dado um prisma regular, sabemos que sua área lateral é de $\mathsf{120\sqrt{3}~m^2}$ e sua área total é de $\mathsf{152\sqrt{3}~m^2}$. Devemos determinar seu volume.

Sabemos que a área total de um prisma é dado pela soma da área lateral com a área das duas bases:

$\mathsf{A_{total}=A_{lateral}+2\cdot A_{base}}$

Substituindo os dados que temos:

$\mathsf{152\sqrt{3}=120\sqrt{3}+2\cdot A_{base}}$

Subtraia $\mathsf{120\sqrt{3}}$ em ambos os lados da equação

$\mathsf{2\cdot A_{base}=32\sqrt{3}}$

Divida ambos os lados da equação por $\mathsf{2}$

$\mathsf{A_{base}=16\sqrt{3}}$.

Sabemos que a área de um triângulo equilátero em função de seu lado $\ell$ é dada por: $A=\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}$.

Substituindo esta fórmula na equação anterior, podemos encontrar a medida do lado do triângulo da base do prisma:

$\mathsf{\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}}$

Multiplique ambos os lados da equação por $\mathsf{\dfrac{4}{\sqrt3}}$

$\mathsf{\ell^2=64}$

Retire a raiz quadrada em ambos os lados da equação:

$\mathsf{\ell=8~m}$

Então, lembre-se que a face lateral de um prisma triangular é um retângulo, cuja largura é igual a medida do lado do triângulo da base e seu comprimento é igual a altura do prisma.

Chamando sua base de $\ell$ e seu comprimento de $\mathsf{h}$, utilizamos o valor da área lateral deste prisma para encontrarmos este comprimento e, consequentemente, a altura do prisma.

A área lateral deste prisma é composta por três faces laterais retangulares, logo sabendo que a área de cada um deles é dada por: $\mathsf{A=\ell\cdot h}$, teremos:

$\mathsf{3\cdot\ell\cdot h=120\sqrt{3}}}$

Substituindo a medida do lado que encontramos, teremos

$\mathsf{3\cdot8\cdot h=120\sqrt{3}}}\\\\\\ \mathsf{24\cdot h=120\sqrt{3}}}$

Divida ambos os lados da equação por $\mathsf{24}$

$\mathsf{h=5\sqrt{3}}$

O volume de um prisma é dado pela fórmula geral: $\mathsf{V=A_{base}\cdot h}$

Substituindo os dados que encontramos, teremos

$\mathsf{V=16\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{3}}$

Multiplique os valores

$\mathsf{V=240~m^3}$

Este é o volume deste prisma.