Matemática, perguntado por Mazzimo, 1 ano atrás

Determine o vigésimo quinto termo da P.A.: (3 ,7 ,11 , ...).

Soluções para a tarefa

Respondido por MATHSPHIS

$a_{25}=a_1+24.r\\ \\ a_{25}=3+24.4\\ \\ a_{25}=3+96\\ \\ \boxed{a_{25}=99}$

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (3, 7, 11,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

b)vigésimo quinto termo (a₂₅): ?

c)número de termos (n): 25 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 25ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do vigésimo quinto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 7 - 3 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo quinto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₅ = 3 + (25 - 1) . (4) ⇒

a₂₅ = 3 + (24) . (4) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₂₅ = 3 + 96 ⇒

a₂₅ = 99

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 25º termo da P.A.(3, 7, 11,...) é 99.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₅ = 99 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quinto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₅ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

99 = a₁ + (25 - 1) . (4) ⇒

99 = a₁ + (24) . (4) ⇒

99 = a₁ + 96 ⇒ (Passa-se 96 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

99 - 96 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₂₅ = 99.)

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