Matemática, perguntado por aleandrafufa, 1 ano atrás

Determine o vigésimo quarto primeiro termo da P.A(17,21,25)

alex4ndra: Desculpe, é o vigésimo quarto termo ou o vigésimo primeiro termo?

aleandrafufa: oi o vigésimo quarto primeiro termo mesmo.

BetShammah: Centésimo primeiro?

aleandrafufa: SIM

aleandrafufa: sim determinar centésimo primeiro termo da P.A (17,21,25..)

aleandrafufa: Bet essa resposta postada e do vigesimo quarto primeiro ou centesimo primeiro termo ?p.a (17,21,25

BetShammah: Centésimo primeiro = 101

aleandrafufa: ok obrigada Bet

BetShammah: ^-^

Soluções para a tarefa

Respondido por BetShammah

a1 = 17
r = 4
n = 101
an = ?

an = a1 + (n-1).r
a101 = 17 + (101-1).4
a101 = 17 + 100.4
a101 = 17 + 400
a101 = 417

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (17, 21, 25,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:17

c)vigésimo quarto termo (a₂₄): ? (Observação 1: Será desconsiderada a palavra "primeiro", indicada no enunciado, particularmente em "vigésimo quarto primeiro", porque não faz parte do numeral ordinal representativo do termo solicitado.)

d)número de termos (n): 24 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 24ª), equivalente ao número de termos.)

e)Embora não se saiba o valor do vigésimo quarto termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem, afastam-se do zero, particularmente à sua direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 2: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 21 - 17 ⇒

r = 4 (Razão positiva, conforme prenunciado no item e acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o vigésimo quarto termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₄ = 17 + (24 - 1) . (4) ⇒

a₂₄ = 17 + (23) . (4) ⇒ (Veja a Observação 3.)

a₂₄ = 17 + 92 ⇒

a₂₄ = 109

Observação 3: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O vigésimo quarto termo da P.A.(17, 21, 25,...) é 109.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₄ = 109 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo quarto termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₄ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

109 = a₁ + (24 - 1) . (4) ⇒

109 = a₁ + (23) . (4) ⇒

109 = a₁ + 92 ⇒ (Passa-se 92 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

109 - 92 = a₁ ⇒

17 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 17 (Provado que a₂₄ = 109.)

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