Matemática, perguntado por dUNIPERNA, 1 ano atrás

DETERMINE O VETOR GRADIENTE DA FUNÇÃO F(X,Y)=X.Y^2+E^X*Y NO PONTO P (1,1)

Soluções para a tarefa

Respondido por kiabbovii

$F(x,y)=xy^2+e^x^y$ no ponto P(1,1)
Vamos lá!

Primeiro, achamos as derivadas pra x e pra y afim de darmos as coordenadas do vetor (sempre siga esses passos):
Derivadas:
$F'(x)= y^2+e^x^y$ e

kiabbovii: apertei pra enviar a resposta sem querer antes de terminar de escrever

kiabbovii: e esse brainly inútil não deixa editar a resposta, enfim: vou enviar a resposta

kiabbovii: F'(y)= 2xy+e^x*y (Derivada de F em y que ficou faltando)

kiabbovii: Agora vamos ao gradiente:

kiabbovii: Gf(x,y)= (y² + y*e^x*y)i + (2xy + x*e^x*y)j

kiabbovii: Agora a resposta, que é o vetor gradiente no ponto P(1,1):

kiabbovii: VG= (1 + e)i + (2 + e)j

kiabbovii: espero que tenha ajudado, qualquer dúvida, me procure. Abraços!

dUNIPERNA: Valeu, obrigado. Abraços.

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 1) = (3,72,\,4,72)\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x, y) = xy^{2} + e^{xy}\\P(1, 1)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}$

Então, temos:

Calculando o vetor gradiente da função:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = (y^{2} + ye^{xy}) \,\vec{i} + (2xy + xe^{xy})\,\vec{j}\end{gathered}$}$

Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2) = (1^{2} + 1\cdot e^{1\cdot1})\,\vec{i} + (2\cdot1\cdot1 + 1\cdot e^{1\cdot1})\,\vec{j}\end{gathered}$}$