Question

Determine o vetor gradiente da função f(x,y) = 5x2 + 3y2 no ponto (1,2)

Answer 1

$\nabla f (x,y)= \bigg(\dfrac{\partial f}{\partial x} , \dfrac{\partial f}{\partial y} \bigg) \\ \\ \nabla f(x,y) = (10x,6y)$

Agora aplicamos no ponto dado:

$\nabla f (1, \: 2) = \big( 10(1) , 6(2) \big)= (10, \: 12)$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 2) = (10,\,12)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x, y) = 5x^{2} + 3y^{2}\\P(1, 2)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot5\cdot x\cdot \vec{i} + 2\cdot3\cdot y\cdot \vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10x\,\vec{i} + 6y\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2) = 10\cdot1\,\vec{i} + 6\cdot2\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 10\,\vec{i} + 12\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (10, 12)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 2) = (10,\,12)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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