Question

Determine o vetor de sentido oposto ao vetor
v = (−2, 4, 4) que tenha módulo igual a 9.

Answer 1

Para que o vetor tenha sentido oposto, devemos multiplica-lo por -1, logo:

$-v~=~-1~.~(-2~,~4~,~4)\\\\-v~=~(-1~.-2~,~-1~.~4~,~-1~.~4)\\\\\boxed{-v~=~(2~,-4~,-4)}$

Para que seu modulo seja alterado para 9, devemos multiplica-lo por um escalar "x" de tal forma que o modulo resultante seja 9.

$|x~.~-v|~=~9\\\\\\|x~.~(2~,-4~,-4)|~=~9\\\\\\|(2x~,-4x~,-4x)|~=~9\\\\\\\sqrt{(2x)^2+(-4x)^2+(-4x)^2}~=~9\\\\\\\sqrt{4x^2+16x^2+16x^2}~=~9\\\\\\\sqrt{36x^2}~=~9\\\\\\36x^2~=~9^2\\\\\\x^2~=~\frac{81}{36}\\\\\\x~=~\sqrt{\frac{81}{36}}\\\\\\x~=~\frac{3}{2}\\\\\\\boxed{x~=~\frac{9}{6}}$

Sendo assim o vetor oposto a v com modulo 9 é:

$(2x~,-4x~,-4x)~=~\left(2~.~\frac{3}{2}~,-4~.~\frac{3}{2}~,-4~.~\frac{3}{2}\right)~=~\boxed{\left(3~,-6~,-6\right)}$

Answer 2

✅ Após ter resolvido os cálculos, concluímos que o vetor oposto ao vetor "v" com módulo "9" é:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(\vec{w}) = (3, -6, -6) \end{gathered}$

Sejam os dados:

       $\Large\begin{cases}\vec{v} = (-2, 4, 4)\\\lambda = 9 \end{cases}$

Se estamos procurando o vetor de sentido oposto ao vetor "v", então estamos procurando o vetor oposto ou simétrico de um vetor, ou seja:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$          $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(\vec{w}) = (-1)\cdot\vec{w} \end{gathered}$

Como o referido vetor terá o módulo "λ" vezes o módulo do vetor unitário, então, teremos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\vec{w} = \lambda\cdot\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} \end{gathered} }$

Substituindo "II" em "I", temos:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S(\vec{w}) = (-1)\cdot\lambda\cdot\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S(\vec{w}) = -\lambda\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} \end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "III", temos:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}S(\vec{w}) = (-9)\cdot\frac{(-2, 4, 4)}{\sqrt{(-2)^{2} + 4^{2} + 4^{2}}} \end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= (-9)\cdot\frac{(-2, 4, 4)}{\sqrt{4 + 16 + 16}} \end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= (-9)\cdot\frac{(-2, 4, 4)}{\sqrt{36}} \end{gathered} }$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (-9)\cdot\frac{(-2, 4, 4)}{6} \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}=(-9)\cdot\Bigg(-\frac{2}{6}, \frac{4}{6}, \frac{4}{6} \Bigg) \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \Bigg(\frac{18}{6}, -\frac{36}{6}, -\frac{36}{6} \Bigg) \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (3, -6, -6) \end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor procurado é:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}S(\vec{w}) = (3, -6, -6) \end{gathered}$

             

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Solução gráfica: