Question

Determine o vértice C(Xc, Yc) do ΔABC dados ÁreaΔ = 11, A(4, -6) e B(-1, 7) e C pertence a bissetriz do 2° e 4° quadrantes.

Answer 1

O vértice C pode ser C = (0,0) ou C = (11/2,-11/2).

A bissetriz dos quadrantes 2 e 4 coincide com a reta y = -x.

Sendo assim, o ponto C é igual a C = (x,-x).

Para calcular a área do triângulo, vamos definir os vetores AB e AC:

AB = (-1,7) - (4,-6)

AB = (-1 - 4, 7 + 6)

AB = (-5,13)

e

AC = (x,-x) - (4,-6)

AC = (x - 4, -x + 6).

Agora, devemos calcular o seguinte determinante: $\left[\begin{array}{ccc}-5&13\\x-4&-x+6\end{array}\right]$. Dito isso, temos que:

d = (-5).(-x + 6) - 13.(x - 4)

d = 5x - 30 - 13x + 52

d = -8x + 22.

Como a área do triângulo é igual a 11, então:

|-8x + 22|/2 = 11

|-8x + 22| = 2.11

|-8x + 22| = 22.

Temos duas condições:

-8x + 22 = 22 ou -8x + 22 = -22.

Da primeira condição, podemos concluir que x = 0.

Da segunda condição, obtemos x = 11/2.

Portanto, o ponto C pode ser (0,0) ou (11/2,-11/2).