Question

determine o valor real de m para que a equação x²+(m-1).x+m-2=0 tenha uma única raíz real

Answer 1

Waleska,

Uma equação quadrática terá duas raízes reais iguais caso seu discriminante seja nulo

                   Δ = b² - 4.a.c
                           Δ = (m - 1)² -4(1)(m - 2)
                           0 = m² - 2m + 1 - 4m + 8
                              = m² - 6m + 9
                          (m - 3)² = 0
                               m - 3 = 0
                                                    m = 3

Answer 2

Quando nós resolvemos uma equação do segundo grau, ela pode ser completa ou incompleta. Sendo completa uma do tipo ax²+bx+c = 0 e incompleta do tipo ax²+bx = 0 ou ax²+c = 0. 

Quando a equação é completa, resolvemos pela fórmula de Bháskara, geralmente. 

Primeiramente encontramos o valor de Delta (Δ = b²-4ac)
É interessante analisar o valor de Δ porque ele nos dirá algo a respeito das raízes da equação (o que usaremos para resolver a questão)

quando:

Δ > 0, encontraremos duas raízes reais e diferentes
Δ = 0, encontraremos duas raízes iguais
Δ < 0, não existe raízes reais.

Agora, resolvendo o problema: 

x²+(m-1).x+m-2=0
x²+(m-1)x+(m-2)=0

Os coeficientes são:

a = 1
b = (m-1)
c = (m-2)

Δ = b² - 4 . a . c
Δ = (m-1)² - 4 . 1 . (m-2) 
Δ = m² - 2m +1 - 4m + 8
Δ = m² - 6m + 9

O exercício pede que descubramos m de forma que a equação tenha uma única raiz real, que , como vimos é quando Δ = 0 (duas raízes iguais que, como são iguais, falamos que é só uma)

então, para isso acontecer, Δ = 0      

m² - 6m + 9 = 0

Δ = (-6)² - 4 . 1 . 9
Δ = 36 - 36
Δ = 0

m = (-b +- Raiz de Δ )/ 2a
m = (-(-6) +- Raiz de 0 )/ 2 . 1
m = (6 +- 0 )/ 2
m = 6/ 2
m = 3

Logo, m deve ser igual a 3