Question

Determine o valor produto log9 5 X log2 3 X log 25 16

Answer 1

Como não sabemos calcular qualquer um desses logaritmos (sem calculadora), vamos utilizar as propriedades logarítmicas para reescrever a expressão e, assim, podermos determinar seu valor.

$\log_{_9}5~\cdot~\log_{_2}3~\cdot~\log_{_{25}}16~=\\\\\\Vamos~aplicar~a~\underline{propriedade~da~troca~de~base}~nos~tres~logaritmos,\\deixando-os~com~mesma~base,~10\\\\\\=~\dfrac{\log5}{\log9}~\cdot~\dfrac{\log3}{\log2}~\cdot~\dfrac{\log16}{\log25}\\\\\\\underline{Fatorando}~os~logaritmandos~9,~16~e~25\\\\\\=~\dfrac{\log5}{\log3^2}~\cdot~\dfrac{\log3}{\log2}~\cdot~\dfrac{\log2^4}{\log5^2}\\\\\\Aplicando~a~\underline{propriedade~do~logaritmo~da~potencia}$

$=~\dfrac{\log5}{2\cdot\log3}~\cdot~\dfrac{\log3}{\log2}~\cdot~\dfrac{4\cdot\log2}{2\cdot\log5}\\\\\\Multiplicando~as~fracoes\\\\\\=~\dfrac{4~\cdot~\log2~\cdot~\log3~\cdot~\log5}{2~\cdot~2~\cdot~\log2~\cdot~\log3~\cdot~\log5}\\\\\\=~\dfrac{4~\cdot~\log2~\cdot~\log3~\cdot~\log5}{4~\cdot~\log2~\cdot~\log3~\cdot~\log5}~~~~\rightarrow~numerador~igual~ao~denominador\\\\\\=~\boxed{~1~}$

Resposta:  1