Question

Determine o valor positivo de m que satisfaz simultaneamente às condições:
sec x = 2m-1 e tgx = raiz m^2+4
.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Samaralacerda, que a resolução é mais ou menos simples.
Pede-se o valor positivo de "m" para que se tenha, simultaneamente:

sec(x) = 2m - 1
e
tan(x) = √(m²+4)

Agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Veja que entre as relações da trigonometria, há uma que afirma isto:

sec²(x) = 1 + tan²(x)       . (I)

ii) Agora vamos fazer o seguinte: elevaremos ao quadrado as expressões relativas à sec(x) = 2m - 1 e à tan(x) = √(m²+4). Então, fazendo isso, teremos:

sec²(x) = (2m-1)²
sec²(x) = 4m² - 4m + 1       . (II)
e
tan²(x) = [√(m²+4)]² ---- desenvolvendo, temos que:
tan²(x) = m² + 4       . (III)

iii) Agora vamos na nossa expressão (I), que é esta:

sec²(x) = 1 + tan²(x) ---- substituindo-se "sec²(x)" por "4m²-4m+1" ,conforme vimos na expressão (II), e substituindo-se "tan²(x)" por "m²+4",. conforme vimos na expressão (III), teremos:

4m²-4m+1 = 1 + m²+4 ---- reduzindo os termos semelhantes no 2º membro:
4m² - 4m + 1 = m² + 5 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
4m² - 4m + 1 - m² - 5 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
3m² - 4m - 4 = 0 ---- Agora note: se você aplicar Bháskara nesta equação do 2º grau, vai encontrar as seguintes raízes:

m' = -2/3
m'' = 2

iv) Como está sendo pedido o valor POSITIVO de "m", então só nos interessa a raiz positiva que encontramos aí em cima. Assim, teremos que o valor de "m", que satisfaz simultaneamente às condições da sua questão, será:

m = 2 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.