Question

Determine o valor numerico da expressao X^2m+x^2n-y^2m-y^2n. Sabendo que (x+y)=10 (x-y)=5 (m+n)=7

Answer 1

O valor numérico da expressão $\mathsf{{x}^{2}m+{x}^{2}-{y}^{2}m-{y}^{2}n}$ nas condições dadas é igual a 350.

Segue a explicação detalhada:

Iremos proceder por fatoração por agrupamento. Para tanto, vamos colocar os fatores $\mathsf{x^2}$ e $\mathsf{y^2}$ em evidência. Dessa forma, segue:

$\mathsf{{x}^{2}m+{x}^{2}-{y}^{2}m-{y}^{2}n} = \\ = \mathsf{{x}^{2}(m+n) - {y}^{2}(m+n)}$

Obtemos outro fator comum, a saber, $\mathsf{m+n.}$ Vamos colocá-lo em evidência. Assim, vem:

$\mathsf{{x}^{2}m+{x}^{2}-{y}^{2}m-{y}^{2}n} = \\ = \mathsf{{x}^{2}(m+n) - {y}^{2}(m+n)}=\\= \mathsf{(m+n)(x^2-y^2)}$

Lembrando de produtos notáveis, sabemos que $\mathsf{a^2-b^2=(a+b)(a-b).}$ Então:

$\mathsf{{x}^{2}m+{x}^{2}-{y}^{2}m-{y}^{2}n} = \\ = \mathsf{{x}^{2}(m+n) - {y}^{2}(m+n)} =\\= \mathsf{(m+n)(x+y)(x-y)}$

Na questão, foram dados que $\mathsf{(x+y)=10, (x-y)=5 \text{ e } (m+n)=7.}$

Logo,

$\mathsf{{x}^{2}m+{x}^{2}-{y}^{2}m-{y}^{2}n} = \\ = \mathsf{{x}^{2}(m+n) - {y}^{2}(m+n)} =\\= \mathsf{(m+n)(x+y)(x-y)} = \\= \mathsf{7 \cdot 10 \cdot 5 = 350}$