Question

Determine o valor k para que as raízes x, e x, da equação 2x^2+kx-1=0 satisfaçam a relação:
x1^2+x2^2=.(valor 0 a 0,6)​

Answer 1

Para melhor entender esta resolução é bom relembrar os Casos Notáveis da Multiplicação:

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

• $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

• $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Há que relembrar ainda a Fórmula Resolvente para Equações do 2º Grau, que deixo em anexo.

Com isto em mente, tentemos resolver o exercício.

Queremos encontrar os valores de k para que  $0<x_1\,^2+x_2\,^2<0,6$ .

Para fazer isso, vamos, primeiro, resolver a equação tal como ela está.

    $2x^2+kx-1=0$

    $x=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-4\times2\times(-1)}}{2\times2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-8\times(-1)}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2+8}}{4}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x_1=\dfrac{-k-\sqrt{k^2+8}}{4}\;\;\;\vee\;\;\;x_2=\dfrac{-k+\sqrt{k^2+8}}{4}$

Agora que temos as expressões que definem as raízes da equação, vamos resolver a condição dada.

Comecemos por simplificar a expressão  $x_1\,^2+x_2\,^2$

    $x_1\,^2+x_2\,^2=$

$=\left(\dfrac{-k-\sqrt{k^2+8}}{4}\right)^2+\left(\dfrac{-k+\sqrt{k^2+8}}{4}\right)^2=$

$=\dfrac{\left(-k-\sqrt{k^2+8}\right)^2}{4^2}+\dfrac{\left(-k+\sqrt{k^2+8}\right)^2}{4^2}=$

$=\dfrac{\left(-k-\sqrt{k^2+8}\right)^2}{16}+\dfrac{\left(-k+\sqrt{k^2+8}\right)^2}{16}=$

$=\dfrac{\left(-k-\sqrt{k^2+8}\right)^2+\left(-k+\sqrt{k^2+8}\right)^2}{16}=$

$=\dfrac{(-k)^2-2(-k)\sqrt{k^2+8}+(\sqrt{k^2+8})^2+(-k)^2+2(-k)\sqrt{k^2+8}+(\sqrt{k^2+8})^2}{16}=$

$=\dfrac{k^2+2k\sqrt{k^2+8}+k^2+8+k^2-2k\sqrt{k^2+8}+k^2+8}{16}=$

$=\dfrac{k^2+k^2+k^2+k^2+2k\sqrt{k^2+8}-2k\sqrt{k^2+8}+8+8}{16}=$

$=\dfrac{4k^2+16}{16}=$

$=\dfrac{k^2+4}{4}$

É muito mais fácil trabalhar com esta expressão :D

Vamos agora resolver a condição.

    $0<x_1\,^2+x_2\,^2<0,6\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0<\dfrac{k^2+4}{4}<\dfrac{6}{10}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0<\dfrac{k^2+4}{4}<\dfrac{3}{5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0\times4<k^2+4<\dfrac{3\times4}{5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0<k^2+4<\dfrac{12}{5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow0-4<k^2<\dfrac{12}{5}-4\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4<k^2<\dfrac{12}{5}-\dfrac{4\times5}{5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4<k^2<\dfrac{12}{5}-\dfrac{20}{5}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow -4<k^2<-\dfrac{8}{5}\;\;\;\;\;\;\;\;(Impossivel)$

Como todos os números elevados a um expoente par são maiores ou iguais a 0, é impossível existir um valor de k que satisfaça a condição dada.

Resposta:  $k\in\varnothing$

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