determine o valor dos números complexos:
a) Z: (1 + i) ²⁰
b) Z: (1 - 2i) ⁸
Soluções para a tarefa
a) z = (1 + i)20
Podemos reescrever z substituindo o expoente 20 pelo produto 2 . 10:
z = (1 + i)20
z = [(1 + i)2]10
z = (12 + 2i + i2)10
z = (1 + 2i – 1)10
z = (2i)10
z = 210 . i10
É fácil ver que 210 = 1024. Vejamos agora quanto vale i10:
i10 = (i5)2
i10 = (i2 . i2 . i)2
i10 = [(– 1) . (– 1) . i]2
i10 = (1 . i)2
i10 = i2
i10 = – 1
Então:
z = 210 . i10
z = 1024 . (– 1)
z = – 1024
Portanto, z = (1 + i)20 = – 1024.
b) z = (1 – 2i)8
Reescrevendo z como potência de potência, temos:
z = (1 – 2i)8
z = [(1 – 2i)2]4
z = (12 – 2.2i + 4i2)4
z = (1 – 4i – 4)4
z = (– 3 – 4i)4
Novamente, considerando z como potência de potência:
z = (– 3 – 4i)4
z = [(– 3 – 4i)2]2
z = (9 + 2.(– 3).(–4i) + 16i2)2
z = (9 + 24i – 16)2
z = (– 7 + 24i)2
Aplicando o produto notável do quadrado da soma:
z = (– 7 + 24i)2
z = 49 + 2.(– 7).(24i) + (24i)2
z = 49 – 336i + 576i2
z = 49 – 336i – 576
z = – 527 – 336i
Logo, z = (1 – 2i)8 = – 527 – 336i.
ESPERO TER AJUDADO
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