Question

determine o valor dos numeros complexos a seguir z=(1-2i)^8

Answer 1

Através dos comentários você me disse que essa valor não deveria estar na forma trigonométrica, então nos resta desenvolver esse binômio complexo.

$\boxed{\sf (a + b) {}^{n} = \sum_{p = 0}^{n} {}^{p} C_n a {}^{n - p} .b {}^{p} }$

• Onde:

→ "n" expoente do binômio;

→ "a" e "b" representam o primeiro e o segundo número do binômio, respectivamente;

Substituindo os dados:

$\sf (1 - 2i) {}^{8} = \binom{8}{0}1 {}^{8} .2i {}^{0} - \binom{8}{1} .1 {}^{7} .2i {}^{1} + \binom{8}{2} .1 {}^{6} .(2i ){}^{2} - \binom{8}{3} .1 {}^{5} .(2i) {}^{3} + \binom{8}{4} 1 {}^{4} .(2i) {}^{4} - \binom{8}{5} .1 {}^{3} .(2i) {}^{5} + \binom{8}{6} .1 {}^{2} .(2i) {}^{6} - \binom{8}{7} .1 {}^{1} .(2i) {}^{7} + \binom{8}{8} .1 {}^{0} .(2i) {}^{8} \\ \\ \sf (1 - 2i) {}^{8} = 1.1.1 - 8.1.2i + 28.1.4i {}^{2} - 56.1.8i {}^{3} + 70.1.16i {}^{4} - 56.1.32i {}^{5} + 28.1.64i {}^{6} - 8.1.128i {}^{7} + 1.1.256i {}^{8}$

Como sabemos, as potências de "i" correspondem a número, listarei aqui as potências de i partindo do "0" até o i no expoente 8.

$\sf i {}^{0} = 1 \\ \sf i {}^{1} = i \\ \sf i {}^{2} = - 1 \\ \sf i {}^{3} = i {}^{2} .i = - i \\ \sf i {}^{4} = i {}^{3} .i = 1 \\ \sf i {}^{5} = i {}^{4} .i = i \\ \sf i {}^{6} = i {}^{5} .i = - 1 \\ \sf i {}^{7} = i {}^{6} .i = - i \\ \sf i {}^{8} = i {}^{7} .i = 1$

Agora vamos substituir cada um desses valores nessa expansão do binômio:

$\sf (1 - 2i) {}^{8} = \binom{8}{0}1 {}^{8} .2i {}^{0} - \binom{8}{1} .1 {}^{7} .2i {}^{1} + \binom{8}{2} .1 {}^{6} .(2i ){}^{2} - \binom{8}{3} .1 {}^{5} .(2i) {}^{3} + \binom{8}{4} 1 {}^{4} .(2i) {}^{4} - \binom{8}{5} .1 {}^{3} .(2i) {}^{5} + \binom{8}{6} .1 {}^{2} .(2i) {}^{6} - \binom{8}{7} .1 {}^{1} .(2i) {}^{7} + \binom{8}{8} .1 {}^{0} .(2i) {}^{8} \\ \\ \sf (1 - 2i) {}^{8} = 1.1.1 - 8.1.2i + 28.1.4i {}^{2} - 56.1.8i {}^{3} + 70.1.16i {}^{4} - 56.1.32i {}^{5} + 28.1.64i {}^{6} - 8.1.128i {}^{7} + 1.1.256i {}^{8} \\ \\ \sf (1 - 2i) {}^{8} = 1 - 16i + 28.4.( - 1) - 56.8.( - i) + 70.16.(1 )- 56.32(i) + 28.64.( - 1) - 8.128.( - i) + 256.(1) \\ \\ \sf (1 - 2i) {}^{8} = 1 - 16i - 112 + 448i + 1120 - 1792i - 1792 + 1024i + 256 \\ \\ \sf (1 - 2i) {}^{8} = 1 - 112 + 1120 - 1792 + 256 - 16i + 432i - 1792i + 1024i \\ \\ \boxed{\sf (1 - 2i) {}^{8} = - 527 - 336i}$

Espero ter ajudado