Question

Determine o valor dos determinantes das matrizes de ordem 3 abaixo :

A) 1 0 2 b) 1 2 1
2 4 1 2 9 2
3 2 0 3 11 3​

Answer 1

Para calcular o determinante de qualquer matriz de ordem 3x3 utilizamos a famosa regra de Sarrus, nessa regra temos 4 passo a serem seguidos para a obtenção do determinante. São eles:

① passo: repetir a 1º e a 2º coluna da matriz. Para facilitar o entendimento, veja o exemplo a seguir;

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| \Longleftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}1&2\\4&5\\7&8\end{array}\right|$

② passo: somar os produtos dos termos da diagonal principal. Utilizando o mesmo exemplo anterior irei ilustrar a realização do 2º passo. Veja a seguir;

$\left|\begin{array}{ccc}\boxed{1}&\boxed{2}&\boxed{3}\\4&\boxed{5}&\boxed{6}\\7&8&\boxed{9}\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}1&2\\\boxed{4}&5\\\boxed{7}&\boxed{8}\end{array}\right| \Longleftrightarrow 1*5*9+2*6*7+3*4*8$

③ passo: somar os produtos dos termos da diagonal secundária. Irei fazer a mesma coisa que venho fazendo ... veja no exemplo a seguir;

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&\boxed{3}\\4&\boxed{5}&\boxed{6}\\\boxed{7}&\boxed{8}&\boxed{9}\end{array}\right| \left|\begin{array}{ccc}\boxed{1}&\boxed{2}\\\boxed{4}&5\\7&8\end{array}\right| \Longleftrightarrow 7*5*3+8*6*1+9*4*2$

④ passo: subtrair a soma total dos termos da diagonal principal dos termos da diagonal secundária. Agora irei simplesmente subtrair a diagonal principal com a diagonal secundária. ficando assim:

$1*5*9+2*6*7+3*4*8 - (7*5*3+8*6*1+9*4*2) = \boxed{0}$

Tendo isso em mente, vamos a sua questão.

Item a)

$\sf A=\left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&4&1\\3&2&0\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&4&1\\3&2&0\end{array}\right| \Longleftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&4&1\\3&2&0\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}1&0\\2&4\\3&2\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&0&2\\2&4&1\\3&2&0\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}1&0\\2&4\\3&2\end{array}\right|$

$\begin{array}{lr}\sf DP=1*4*0+0*1*3+2*2*2\\\\\sf DS= 3*4*2+2*1*1+0*2*0 \end{array}$

1*4*0+0*1*3+2*2*2 - ( 3*4*2+2*1*1+0*2*0 )

0 + 0 + 8 - 24 - 2 - 0

= $\underline{\boxed{\sf -18}}$

Concluirmos então que o determinante da sua matriz A é igual a -18.

Item b)

$\sf B=\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&9&2\\3&11&3\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&9&2\\3&11&3\end{array}\right| \Longleftrightarrow \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&9&2\\3&11&3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&9\\3&11\end{array}\right|$

$\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&9&2\\3&11&3\end{array}\right|\left|\begin{array}{ccc}1&2\\2&9\\3&11\end{array}\right|$

$\begin{array}{lr}\sf DP=1*9*3 +2*2*3+1*2*11\\\\\sf DS= 3*9*1+11*2*1+3*2*2\end{array}$

1*9*3 +2*2*3+1*2*11 - ( 3*9*1+11*2*1+3*2*2 )

27 + 12 + 22 - 27 - 22 - 12

= $\underline{\boxed{\sf 0}}$

Concluirmos então que o determinante da sua matriz B é igual a 0.

Espero ter ajudado.

Bons estudos.

• Att. FireClassis.