Question

Determine o valor do numero x em cada uma das igualdades.

a) 14√2elevado a 8= x√2 elevado a 4

Answer 1

Resposta:

$(14\sqrt{2})^8 = (x\sqrt{2})^4$

Acho que a conta ficará mais simples se fizermos usando propriedade de potência e raiz. Transforme 14 em 2.7.

$(14\sqrt{2})^8 = (x\sqrt{2})^4 => 2^8.7^8. \sqrt{2^8} = x^4. \sqrt{2^4}$

Usando propriedades de raízes, podemos simplificar o índice e o expoente do radicando pelo menos número:

$2^8.7^8. \sqrt{2^8} = x^4. \sqrt{2^4} => 2^8.7^8.\sqrt[2:2]{2^{8:2}} = x^4. \sqrt[2:2]{2^{4:2}}$  (I)

$2^8.7^8.2^4 = x^4. 2^2$

Vou trocar o lado das coisas só por estética (isso não altera a equação):

$x^4. 2^2 = 2^8.7^8.2^4$

$x^4 = \dfrac{2^8.7^8.2^4}{2^2}$

Em uma divisão de potências, podemos manter as bases iguais (neste caso só o 2) e subtrair os expoentes

$x^4 = 2^8.7^8.2^{4-2} => x^4 = 2^8.7^8.2^2$

Passando o expoente 4 como raiz quarta pro outro lado:

$x = \sqrt[4]{2^8.7^8.2^2}$

$x = \sqrt[4]{2^8}. \sqrt[4]{7^8}.\sqrt[4]{2^2}$

E por fim, fazendo a mesma simplificação de (I):

$x = \sqrt[4:4]{2^{8:4}}. \sqrt[4:4]{7^{8:4}}.\sqrt[4:2]{2^{2:2}}$

$x = 2^2.7^2\sqrt{2}$