Question

determine o valor do número real k para que as raizes da equação X³-9X²+kx-6=0 estejam em progressão aritmética.

Answer 1

vou chamar uma das raízes de y:

Uma equação do terceiro grau possui 3 raízes, como estão em PG podemos escrevê-las assim: (y - r, y , y + r) , onde cada termo representa uma das raízes.

Temos que a soma das raízes em uma eq. do terceiro grau é dada por -b/a, assim:
(y - r) + y + (y + r) = -(-9)/1
y - r + y + y + r = 9
3y = 9
y = 9/3
y = 3

Agora, como y é uma das raízes, basta jogar na equação no lugar de x e achar o valor de k:

3³ - 9.3² + k.3 - 6 = 0
27 - 81 + 3k - 6 = 0
3k - 60 = 0
k = 60/3
k = 20  <<< resposta.
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Vamos confirmar:
x³ - 9x² + 20x - 6 = 0        << se 3 é uma das raízes a equação divide por x -                                         3 sem deixar resto:

 x³ -  9x² + 20x - 6         l x - 3
-x³ + 3x²                         x² - 6x + 2
_________
       -6x² + 20x - 6
      +6x² - 18x
      ____________
        2x - 6
      -2x + 6
      ______
           0 << resto

Agora podemos achar as outras duas por bhaskara ou soma e produto:
x² - 6x + 2 = 0           

Vou usar bhaskara:
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4.1.2
Δ = 36 - 8
Δ = 28

x = -b +/- √Δ /2a
x = -(-6) +/- √28 /2.1
x = -6 +/- √28  /2

Fatorando 28
28    2
14    2
7      7
1           28 = 2².7

Voltando:
x = -6 +/- √28  /2
x = -6 +/- √(2².7)  /2
x = -6 +/- 2√7  /2           simplifica tudo por 2
x = -3 +/- √7

x1 = 3 + √7
x2 = 3 - √7

Logo, colocando as raízes em ordem crescente ficaria:
3 - √7 , 3 , 3 + √7      << uma PA de razão √7 

Resposta: k = 20
Bons estudos