Question

determine o valor de z no sistema abaixo:
2x + y + 1 = - 5
-x + y - 2z = 7
3x - 5y - 4z = - 15

Answer 1

Após conhecermos o resultados do cálculos termos de:

$\large \displaystyle \mathsf{ x = - 3 }$ , $\large \displaystyle \mathsf{ x = 2 }$  e $\large \displaystyle \mathsf{ x = - 1 }$.

Sistema linear é todo sistema formado por equações lineares.

Representação de uma equação linear:

$\Large \displaystyle \mathsf{ x + y = b }$

Representação de um sistema linear:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases}\sf ax +by = c\\ \sf dx + fy = g \end{cases}$

Representação matricial de um sistema:

$\large \displaystyle \sf \begin{bmatrix} \sf a & \sf b \\ \sf d & \sf f \end{bmatrix} \large \displaystyle \sf \begin{bmatrix} \sf x \\ \sf y \end{bmatrix} = \large \displaystyle \sf \begin{bmatrix} \sf c \\ \sf g \end{bmatrix}$

Consideremos o sistema de equações lineares  $\boldsymbol{ \textstyle \sf Ax = b }$. Suponha

que A seja uma matriz$\boldsymbol{ \textstyle \sf m \times n }$ invertível ( portanto, $\boldsymbol{ \textstyle \sf det(A) \neq 0 }$ ) e

$\boldsymbol{ \textstyle \sf x = (x_1 , x_2, x_3, \cdots x_n) }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf x = (b_1 , b_2, b_3, \cdots b_n) }$  são elementos do  $\boldsymbol{ \textstyle \sf \mathbb{R}^n }$.

A regra de Cramer apresenta a solução do sistema por:

$\Large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ x_i = \dfrac{det(M_i)}{det(A)}, ~ i = 1,2, \cdots , n } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf 2x + y + z = - 5 \\ \sf -x + y - 2z = 7 \\ \sf 3x - 5y - 4z = - 15 \end{cases}$

Vamos representar na forma matricial:

$\large \displaystyle \sf \begin{array}{ | r r r | }\sf 2 & \sf 1 & \sf 1 \\\sf -1 & \sf 1 & \sf -2 \\ \sf 3 & \sf -5 & \sf -4 \end{array} \:\: \cdot \: \: \large \displaystyle \sf \begin{array}{ | r | }\sf x \\\sf y \\ \sf z \end{array} \:\: = \:\:\large \displaystyle \sf \begin{array}{ | r | }\sf - 5 \\\sf 7 \\ \sf - 15 \end{array}$

Resolvendo este determinante pelo método de Sarrus, temos:

$\large\sf \displaystyle \sf D =\begin{array}{ |r r r | r r |} \sf2 & \sf 1 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf -1& \sf 1 & \sf - 2 & \sf-1 &\sf 1 \\ \sf 3& \sf - 5 & \sf - 4 & \sf3 &\sf - 5\end{array} \quad\large \displaystyle \mathsf{ =- 36 }$

$\large\sf \displaystyle \sf D_x =\begin{array}{ |r r r | r r |} \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf - 5 } & \sf 1 & \sf 1 & \sf -5& \sf 1 \\ \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf 7 } & \sf 1 & \sf - 2 & \sf 7 &\sf 1 \\ \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf - 15} & \sf - 5 & \sf - 4 & \sf -15 &\sf - 5\end{array} \quad\large \displaystyle \mathsf{ =108 }$

$\large\sf \displaystyle \sf D_y =\begin{array}{ |r r r | r r |} \sf 1 & \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf -5 } & \sf 1 & \sf 2& \sf -5 \\ \sf -1 & \boldsymbol{ \textstyle \sf 7 } & \sf - 2 & \sf -1 &\sf7 \\ \sf 3& \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf - 15 }& \sf - 4 & \sf 3&\sf - 15\end{array} \quad\large \displaystyle \mathsf{ = - 72 }$

$\large\sf \displaystyle \sf D_z =\begin{array}{ |r r r | r r |} \sf2 & \sf 1 & \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf-5 } & \sf 2 & \sf 1 \\ \sf -1& \sf 1 & \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf 7 } & \sf-1 &\sf 1 \\ \sf 3& \sf - 5 & \sf \boldsymbol{ \textstyle \sf 15 } & \sf 3 &\sf - 5\end{array} \quad\large \displaystyle \mathsf{ = 36 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{D_x}{D} = \dfrac{108}{-36} = -3 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{D_y}{D} = \dfrac{-72}{-36} = 2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ z = \dfrac{D_z}{D} = \dfrac{36}{-36} = -1 } }$

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