Question

Determine o valor de y para que a equação 6x² + 5x + y = 0 tenha duas raízes reais distintas.

Answer 1

O valor de y é qualquer número real menor do que 25/24.

Explicação

Seja uma equação do segundo grau da forma $\mathsf{ax^2+bx+c=0, a\neq0.}$ O valor do discriminante $\mathsf{(\Delta=b^2-4ac)}$ informa sobre a natureza das raízes da equação. Veja:

• Se $\mathsf{\Delta=0,}$ então a equação tem duas raízes reais iguais.
• Se $\mathsf{\Delta>0,}$ então a equação tem duas raízes reais distintas.
• Se $\mathsf{\Delta<0,}$ então a equação não tem raízes reais.

Desse modo, para que a equação $\mathsf{6x^2+5x+y=0}$ tenha duas raízes reais e distintas, devemos ter:

$\mathsf{\Delta>0}\implies\\\\\\\implies\mathsf{5^2-4\cdot 6\cdot y>0}\implies\\\\\\\implies\mathsf{25-24y>0}\implies\\\\\\\implies\mathsf{-24y>-25}\implies\\\\\\\implies\mathsf{24y<25}\implies\\\\\\\implies\boxed{\boxed{\mathsf{y<\frac{25}{24}}}}$

Logo, o valor de y precisa pertencer ao conjunto $\mathsf{\left\{y\in\mathbb{R}:y<\dfrac{25}{24}\right\}.}$