Question

determine o valor de y de maneira que os pontos P(1,3), Q(3,4) e R(y,2) sejam os vértices de um triangulo qualquer

Answer 1

Para que os pontos formem um triângulo, devemos ter que os três pontos não podem ser colineares (pertencer à mesma reta), ou seja, o ponto R não pode pertencer à reta que passa por P e Q
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Achando o coeficiente angular da reta que passa por P e Q:

$m_{PQ}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}}=\dfrac{4-3}{3-1}=\dfrac{1}{2}$

Achando a equação reduzida da reta que passa por P e Q:

$y-y_{P}=m_{PQ}\cdot(x-x_{p})\\\\y-3=\frac{1}{2}(x-1)\\\\y=\frac{1}{2}(x-1)+3$

Para R não pertencer a reta, devemos ter que

$\frac{1}{2}(x_{R}-1)+3\neq y_{R}\\\\\frac{1}{2}(y-1)+3\neq2\\\\(y-1)+6\neq4\\\\y+5\neq4\\\\y\neq4-5\\\\\boxed{\boxed{y\neq-1}}$

Qualquer valor de y diferente de -1 fará com que os pontos sejam vértices de um triângulo qualquer.
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Outro método:

Se os pontos não são colineares, então

$det\left[\begin{array}{ccc}x_{P}&y_{P}&1\\y_{Q}&y_{Q}&1\\x_{R}&y_{R}&1\end{array}\right]\neq0$

Então:

$\left|\begin{array}{ccc}x_{P}&y_{P}&1\\y_{Q}&y_{Q}&1\\x_{R}&y_{R}&1\end{array}\right|\neq0\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}1&3&1\\3&4&1\\y&2&1\end{array}\right|\\\\\\(1\cdot4\cdot1)+(3\cdot2\cdot1)+(3\cdot1\cdot y)-(1\cdot4\cdot y)-(1\cdot2\cdot1)-(3\cdot3\cdot1)\neq0\\\\4+6+3y-4y-2-9\neq0\\\\-y-1\neq0\\\\\boxed{\boxed{y\neq-1}}$

Answer 2

Resposta:

y = -1

Explicação passo-a-passo: