Question

Determine o valor de y,alfa e beta.

Answer 1

As medidas pedidas são: y = 8cm, α = 48° e β = 11°.

Propriedades e definições:

1. Em qualquer triângulo, a soma das medidas de seus ângulos internos é igual a 180°.
2. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°.

Notação: (Observe a figura anexa).

m(∠ACB): medida do ângulo ACB.

Considerações:

• Considere que os pontos B, C e E são colineares e os pontos A, C e D também são colineares, assim AD e BE são retas e se interceptam no ponto C.

Resolução:

• Observe no vértice C que há dois pares de ângulos opostos pelo vértice, e portanto há dois casos de ângulos congruentes e casos de pares de ângulos suplementares.

m(∠ACB) = m(∠ECD) ⟹ Ângulos opostos pelo vértice.

m(∠ACB) = 180 − 120 ⟹ Ângulos suplementares.

m(∠ACB) = 60° ⟹ Considere m(∠ACB) = c.

c = 60°

• Observe então que no triângulo ABC há um par de ângulos de medidas c e α e no triângulo CDE há também um par de ângulos de medidas c e α portanto esses triângulos são semelhantes pelo caso AA (ângulo/ângulo), consequentemente o terceiro ângulo de cada triângulo, nos vértices A e D, são congruentes entre si.

m(∠BAC) = m(∠CDE)

4β + 28 = β + 61

4β − β = 61 − 28

3β = 33

β = 11°

• Aplique a propriedade ① no triângulo CDE.

α + β + 61 + c = 180 ⟹ Substitua os valores de β e c.

α + 11 + 61 + 60 = 180

α = 180 − (11 + 61 + 60)

α = 48°

• Se os triângulos ABC e CDE são semelhantes entre si, aplique as razões de semelhança entre seus lados correspondentes e escreva uma proporção.

$\large \sf \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{CE}{CB}$

$\large \sf \dfrac{y+4}{12} = \dfrac{x}{x}$

$\large \sf \dfrac{y+4}{12} = 1$

y + 4 = 12 ⟹ Subtraia 4 de ambos os membros.

y = 8 cm

As medidas pedidas são: y = 8cm, α = 48° e β = 11°.

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