Question

Determine o valor de x, real, para que o número complexo:
a) (x²-4x+3) + (x-2)i seja um número imaginário puro.
b) (1-xi)(x+1) seja um número real.

Answer 1

a) pretende-se que:
z = (x² – 4x + 3) + (x – 2)i ∈ ℂ\ℝ

Para tal, temos de ter simultaneamente:
• Im z ≠ 0
• Re z = 0

Assim:
• x – 2 ≠ 0 ⇔ x = 2
• x² – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3

Assim, z ∈ ℂ\ℝ ⇔ x ∈ {1, 3}

b) pretende-se que:
w = (1 – xi)(x + 1) = x + 1 – x²i – xi = (x + 1) – (x² + x)i ∈ ℝ

Assim, temos de ter:
Im w = 0 ⇔ x² + x = 0 ⇔ x(x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = –1

Assim, w ∈ ℝ ⇔ x ∈ {–1, 0}