Question

determine o valor de x. pfvrrr!!!!!

Answer 1

Teorema do ângulo externo.

Sendo um triângulo $\Delta ABC$ com ângulos : $\widehat{A} = \alpha$, $\widehat{B} = \beta$, $\widehat{C} = \theta$, O ângulo externo de um dos vértices será a soma dos ângulo internos não adjacentes a ele, por exemplo :

O ângulo externo do vértice B.

$\fbox{\displaystyle \widehat{B}_{externo} = \theta + \alpha }$

O ângulo externo do vértice A.

$\fbox{\displaystyle \widehat{A}_{externo} = \beta + \theta }$

O ângulo externo do vértice C.

$\fbox{\displaystyle \widehat{C}_{externo} = \alpha + \beta }$

Sabendo disso, vamos para questão.

A questão nos informa o seguinte :

$\fbox{\displaystyle AB = BC = CD = DE = EF \ e \ AE = AF }$  

Vamos começar pelo menor triângulo, onde tem o ângulo x, ou seja,

$\fbox{\displaystyle \Delta ABC }$  :

Sabendo que o ângulo em $\widehat{A}$ vale x, logo o ângulo $\widehat{C}$ vale x também, já que $AB = BC$ ( isósceles de base AC ).

Aplicando a ideia de ângulo externo para o vértice B, então :

${\displaystyle \widehat{B}_{externo} = x + x \to \widehat{B}_{externo} = 2x }$

Agora vamos olhar para o triângulo $\fbox{\displaystyle \Delta BCD }$. Já sabemos que

$\widehat{B} = 2x$, logo $\widehat{D} = 2x$, já que $BC = CD$  ( triângulo isósceles de base BD )

Aplicando a ideia do ângulo externo para o vértice C, porém vamos olhar para o triângulo $\fbox{\displaystyle \Delta ACD }$ :

$\widehat{C}_{externo\Delta ACD} = \widehat{A} + \widehat{D} \to \widehat{C}_{externo\Delta ACD} = x + 2x \to \widehat{C}_{externo\Delta ACD} = 3x$

Onde :  

$\widehat{C}_{externo\Delta ACD} :$ ângulo externo do triângulo $\Delta ACD$

Agora vamos olhar para o triângulo$\fbox{\displaystyle \Delta CDE }$.

Sabemos que $\widehat{C} = 3x$, logo $\widehat{E} = 3x$ já que $CD = DE$ ( triângulo isósceles de base CE).

Vamos usar a ideia de ângulo externo para o vértice D, para isso vamos olhar para o triângulo $\fbox{\displaystyle \Delta = ADE }$

$\widehat{D}_{externo \Delta ADE} = \widehat{A} + \widehat{E} \to \widehat{D}_{externo \Delta ADE} = x + 3x \to \widehat{D}_{externo \Delta ADE} = 4x$

onde :

$\widehat{D}_{externo \Delta ADE} :$ ângulo externo do triângulo $\Delta ADE$  

Agora vamos olhar para o triângulo $\fbox{\displaystyle \Delta FDE }$

Sabemos que $\widehat{D} = 4x$, logo $\widehat{F} = 4x$. Porém a questão informa que $AE = AF$, ou seja :

$\widehat{E} = 4x$

Então, olhando para o triângulo grandão $\fbox{\displaystyle \Delta FAE }$

Temos que :

$\widehat{A} + \widehat{E} + \widehat{F} = 180$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle x + 4 x + 4x = 180 \to 9x = 180 \to x = \frac{180}{9} }$

portanto :

$\fbox {\fbox{\displaystyle x = 20^{\circ} }}$

( Imagem para melhor compreensão )

qualquer dúvida é só falar.