Question

Determine o valor de x para que o ponto A=(x, 2,−2x) diste sqrt6 unidades do ponto B=(2,1,0 ).

Answer 1

A distância de A até B pode ser representada por:

     $\mathsf{B-A=\overrightarrow{AB}}$

     $\mathsf{(2,1,0)-(x,2,-2x)=\overrightarrow{AB}}$

     $\mathsf{\overrightarrow{AB}=(2-x,-1,2x)}$


Para a distância entre A e B ser de √6 u., a norma do vetor AB tem que ser √6 u., logo, temos que:

     $\mathsf{||\overrightarrow{AB}||= \sqrt{6}}$


A norma (módulo de um vetor) pode ser calculada por fazendo a raiz quadrada da soma de cada componente ao quadrado.


     $\mathsf{ \sqrt{(2-x)^2+(-1)^2+(2x)^2}= \sqrt{6}}$

     $\mathsf{4-4x+x^2+1+4x^2=6}$

     $\mathsf{5x^2-4x-1=0}$


Os valores de x podem ser encontrados resolvendo essa equação do segundo grau:

     $\mathsf{\Delta=b^2-4ac}$

     $\mathsf{\Delta=(-4)^2-4\cdot 5\cdot (-1)}$

     $\mathsf{\Delta=36}$


     $\mathsf{x=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$

     $\mathsf{x=\dfrac{-(-4)\pm 6}{10}}$

     $\mathsf{x'=1;~~~~ x''=-\dfrac{1}{5}}$


Bons estudos! :)