Question

Determine o valor de x para o triangulo de vértice A (X-2), B(1,6), C(3,3) tenha área igual a 6u.a

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{x=\dfrac{23}{3}~ou~x=-\dfrac{1}{3}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja o triângulo de vértices $(x_1,~y_1),~(x_2,~y_2)$ e $(x_3,~y_3)$. Sua área pode ser calculada pela fórmula:

$S=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\\\end{Vmatrix}$.

Então, sejam os vértices do triângulo: $A~(x,~2),~B~(1,~6)$ e $C~(3,~3)$. Sabendo que, neste caso, $S=6~u.~a$, teremos:

$6=\dfrac{1}{2}\cdot\begin{Vmatrix}x&2&1\\1&6&1\\3&3&1\\\end{Vmatrix}$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$6=\dfrac{1}{2}\cdot\left|\begin{vmatrix}x & 2 &1 \\ 1&6 &1 \\ 3& 3 & 1\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}x &2 \\ 1 & 6\\ 3 &3 \end{vmatrix}\right.$

Aplique a regra de Sarrus:

$6=\dfrac{1}{2}\cdot |x\cdot6\cdot1+2\cdot1\cdot3+1\cdot1\cdot3-(2\cdot1\cdot1+x\cdot1\cdot3+1\cdot6\cdot3)|$

Multiplique os valores

$6=\dfrac{1}{2}\cdot |6x+6+3-(2+3x+18)|$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$6=\dfrac{1}{2}\cdot |6x+6+3-2-3x-18|$

Some os termos semelhantes

$6=\dfrac{1}{2}\cdot |3x-11|$

Multiplique ambos os lados da equação modular por $2$

$|3x-11|=12$

Então, lembre-se que: $|x|=\begin{cases}x,~\bold{se~x~\geq 0}\\-x,~\bold{se~x<0}\\\end{cases}$, logo teremos duas soluções:

$3x-11=12$

Some $11$ em ambos os lados da equação

$3x=23$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$x=\dfrac{23}{3}$

Então, temos a segunda solução:

$3x-11=-12$

Some $11$ em ambos os lados da equação

$3x=-1$

Divida ambos os lados da equação por $3$

$x=-\dfrac{1}{3}$

Estes são os possíveis valores que satisfazem esta condição.