Question

DETERMINE O VALOR DE X PARA O DETERMINANTE.

1 1 1
2 -3 X > 0
4 9 X²

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de "x" para que o determinante da matriz abaixo seja maior do que zero.
Note que vamos colocar a matriz já no ponto de desenvolvê-la para encontrar o seu determinante (regra de Sarrus):

|1......1....1|1......1|
|2...-3...x|2...-3| > 0 ----- desenvolvendo, teremos:
|4...9...x²|4...9|

1*(-3)*x² + 1*x*4 + 1*2*9 - [4*(-3)*1 + 9*x*1 + x²*2*1] > 0
-3x² + 4x + 18 - [-12 + 9x + 2x²] > 0 ---- retirando-se os colchetes, temos:
-3x² + 4x + 18 + 12 - 9x - 2x² > 0 --- reduzindo os termos semelhantes, temos:

- 5x² - 5x + 30 > 0 ---- para facilitar, poderemos multiplicar ambos os membros por "-5", com o que ficaremos da seguinte forma:

x² + x - 6 < 0 ----- [veja: quando multiplicamos uma desigualdade por "-1", o seu sinal  muda: o que era ">" passa pra "<" e vice-versa. No caso, o que era ">" passou pra "<"].

Assim, vamos encontrar as raízes da equação acima e depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais da inequação dada.
Aplicando Bháskara, vamos encontrar as seguintes raízes:

x' = -3
x'' = 2

Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação dada:

x² + x - 6 < 0 ... +++++++++ (-3)- - - - - - - - (2)++++++++++++

Como queremos que a inequação seja MENOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos no gráfico acima. Assim, o intervalo para o valor de "x" será:

-3 < x < 2 ------- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | - 3 < x < 2}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresentado assim, o que significa o mesmo:

S = (-3; 2)  .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.