Question

Determine o valor de X na sequência para que seja uma PG
(2X+1,3X-6,4X-8)

Answer 1

A propriedade de uma P.G de três termos é essa:

(3x - 6)² = (2x + 1).(4x - 8)

O termo do meio, elevado ao quadrado, é igual à multiplicação dos termos do lado dele.

Agora é só fazer:

$(3x - 6)^2 = (2x + 1).(4x - 8) \\ 9x^2 -36x + 36 = 8x^2 -12x - 8 \\ 9x^2 - 8x^2 -36x + 12x + 36 + 8 = 0 \\ x^2 - 24x + 44 = 0$

Infelizmente caiu uma equação do segundo grau, tem que fazer bháskara, mas vou fazer por soma e produto:


$\frac{-b}{a} = \frac{-(-24)}{1} = \frac{24}{1} = 24 \\ \\ \frac{c}{a} = \frac{44}{1} = 44$

Dois números que somados dão 24 e multiplicados dão 44, são eles 22 e 2.
Agora a gente tem que substituir o valor de x por 22 e 2 e ver qual dos dois transforma a sequência numa P.G

{2(22) + 1, 3(22) - 6, 4(22) - 8}
{45,60,80}

Este aqui forma uma P.G, com razão de 4/3

{2(2) + 1, 3(2) - 6, 4(2) - 8}
{5,0,0}

Este não forma uma P.G, pois ele muda de 5 para 0 e depois permanece em 0, ou seja, ele não segue uma progressão. Portanto, x = 22.