Determine o valor de x na figura abaixo.
Soluções para a tarefa
Resposta:
faz pelo photomath mano, é bem fácil
Explicação passo-a-passo:
espero ter ajudado!
Resposta:
x = 12
Explicação passo-a-passo:
P
A
B
Q M T
sejam:
A ⇒ ponto de contato da tangente traçada de "P" com o círculo de raio 6
B ⇒ ponto de contato da tangente traçada de "P" com o círculo de raio 4
Q ⇒ centro do círculo de raio 6
T ⇒ centro do círculo de raio 4
M ⇒ ponto de contato dos dois círculos
∝ ⇒ ∡ APQ ou ∡ QPM ⇒ PQ é bissetriz de ∡ APM
Ф ⇒ ∡ MPT ou ∡ TPB ⇒ PT é bissetriz de ∡ MPB
PA = PM = PB = "x" pois tangentes traçada de um ponto exterior à uma circunferência são congruentes
PT² = x² + 16 ⇒ PT = √(x² + 16)
PQ² = x² + 36 ⇒ PQ = √(x² + 36)
na proposta ∡APB = 90° ⇒ 2α + 2Ф = 90 ⇒ a + Ф = 45°
6/PQ = senα 4/PT = senФ
cos²α = 1 - sen²α
cos²α = 1 - 36/PQ²
cos²α = (PQ² - 36)/PQ²
cosα = √(PQ² - 36)/PQ
cos²Ф = 1 - sen²Ф
cos²Ф = 1 - 16/PT²
cos²Ф = (PT² - 16)/PT²
cosФ = √(PT² - 16)/PT
sen(α + Ф) = senαcosФ + senФcosα
sen45° = _6_×_√(PT²- 16)_ + _4_×_√(PQ² - 36)_
PQ PT PT PQ
_√2_ = _6√(x² + 16 - 16) + 4√(x² + 36 - 36)_
2 √(x² + 16)√(x² + 36)
_√2_ = _6√x² + 4√x²_
2 √(x² + 16)(x² + 36)
_√2_ = __10√x²____
2 √(x² + 16)(x² +36)
elevando ambos membros ao quadrado
_2_ = ____100x²___
4 (x² + 16)(x² + 36)
2(x^4 + 36x² + 16x² + 96) = 400x²
x^4 + 52x² + 576 = 200x²
x^4 - 148x² + 576 = 0
seja k = x²
k² - 148k + 576 = 0
k = _148±√[148² - 4(1)(576)]_
2(1)
k = _148±√(21904 - 2304)_
2
k = _148±√19600_
2
k = _148±140_
2
k' = _148 + 140_ = 288 = 144
2 2
k'' = _148 - 140_ = _8_ = 4
2 2
então
x² = 144 ⇒ x = 12
x² = 4 ⇒ x = 2 (descartar esta solução pois não verifica o problema)