Question

Determine o valor de X :

LogX na base 2 + log2x na base 2=3


Log2x na base 4 + logX na base 2 =10

Por favorrr

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Lembre-se que

$\text{log}_{b}a+\text{log}_{b}c=\text{log}_{b}(a\cdot c)$

$\text{log}_{b}a=x~\Rightarrow~b^{x}=a$

a) $\text{log}_{2}x+\text{log}_{2}2x=3~\Rightarrow~\text{log}_{2}(x\cdot2x)=3$

$\text{log}_{2}(2x^2)=3~\Rightarrow~2x^2=2^3~\Rightarrow~2x^2=8$

$x^2=\dfrac{8}{2}~\Rightarrow~x^2=4~\Rightarrow~x=\pm\sqrt{4}$

$x'=-2$ e $x"=2$

Mas como $x$ é logaritmando então não pode ser negativo, logo, a única solução é $x=2$

b) Lembre-se que $\text{log}_{b^2}a=\dfrac{1}{2}\cdot\text{log}_{b}a$

Assim, $\text{log}_{4}2x=\text{log}_{2^2}2x=\dfrac{1}{2}\cdot\text{log}_{2}2x$

Substituindo na equação:

$\text{log}_{4}2x+\text{log}_{2}x=10$

$\dfrac{1}{2}\cdot\text{log}_{2}2x+\text{log}_{2}x=10$

$\text{log}_{2}2x+2\cdot\text{log}_{2}x=2\cdot10$

Utilizando a propriedade $n\cdot\text{log}_{b}a=\text{log}_{b}a^{n}$, ficamos com $2\cdot\text{log}_{2}x=\text{log}_{2}x^2$

Além disso, $\text{log}_{2}2x=\text{log}_{2}2+\text{log}_{2}x=1+\text{log}_{2}x$

Substituindo:

$1+\text{log}_{2}x+\text{log}_{2}x^2=20$

$\text{log}_{2}x+\text{log}_{2}x^2=19$

$\text{log}_{2}(x\cdot x^2)=19$

$\text{log}_{2}x^3=19$

$x^3=2^{19}$

$x=\sqrt[3]{2^{19}}=2^6\sqrt[3]{2}=64\sqrt[3]{2}$