Question

Determine o valor de X em cada uma das igualdades:

a)¹²√3⁸ = ²√³×


b)
²√6
3 =
x √6
¹⁵


c) ⁵√4
x =
³⁰√4
¹²


d)
x √
3√ 7 =
²⁷√ 7


e)
x √ √ 13 =
¹⁸√ 13

(ME AJUDEM PLEASE, FIQUEI EM RECUPERAÇÃO PRECISO TIRAR UMA NOTA BOA)​

Answer 1

Resolvendo os itens, o valor de x em cada igualdade é:

• a) x = 4/3;
• b) x = 10;
• c) x = 2;
• d) x = 9;
• e) x = 9.

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Considerações

A ideia para resolver uma equação exponencial é tornar as bases iguais nas potências em ambos os membros a fim e igualar os expoentes, e quando envolve radicais (com base nesta tarefa) basta ter conhecimento de duas propriedades da radiciação:

   $\\\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\bullet~~1)~\sqrt[c]{a^b}=a^{b/c}\\\\\bullet~~2)~\sqrt[b]{\sqrt[c]{a}}=\sqrt[b\,\cdot\,c]{a}\end{array}}$

Como a propriedade 1) nos mostra, um radical pode ser passado para uma potência de expoente fracionário, onde o radicando ''a'' permanece como a base, e seu expoente é a razão entre o expoente ''b'' e o índice ''c''.

Na propriedade 2), uma raiz de um radical pode permanecer como um só radical com o produto de seus índices. Isso ocorre por causa da propriedade 1), observe: $\boldsymbol{\sqrt[b]{\sqrt[c]{a}}=\sqrt[b]{a^{1/c}}=(a^{1/c})^{1/b}=a^{1/b\,\cdot\,c}=\sqrt[b\,\cdot\,c]{a^1}}$.

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Resolução

Com tudo em mente, acompanhe a solução dos item a) ao d):

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Item a)

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\sqrt[12]{3^8}=\sqrt[2]{3^x}\\\\3^{\frac{8}{12}}=3^{\frac{x}{2}}\\\\\dfrac{8}{12}=\dfrac{x}{2}\\\\\dfrac{2}{3}=\dfrac{x}{2}\\\\3\cdot x=2\cdot2\\\\3x=4\\\\\!\boxed{x=\dfrac{4}{3}}\end{array}}$

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Item b)

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\sqrt[2]{6^3}=\sqrt[x]{6^{15}}\\\\6^{\frac{3}{2}}=6^{\frac{15}{x}}\\\\\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{x}\\\\3\cdot x=2\cdot15\\\\3x=30\\\\x=\dfrac{30}{3}\\\\\!\boxed{x=10}\end{array}}$

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Item c)

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\sqrt[5]{4^x}=\sqrt[30]{4^{12}}\\\\4^{\frac{x}{5}}=4^{\frac{12}{30}}\\\\\dfrac{x}{5}=\dfrac{12}{30}\\\\x\cdot30=5\cdot12\\\\30x=60\\\\x=\dfrac{60}{30}\\\\\!\boxed{x=2}\end{array}}$

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Item d)

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\sqrt[x]{\sqrt[3]{7}}=\sqrt[27]{7}\\\\\sqrt[x\,\cdot\,3]{7}=7^{\frac{1}{27}}\\\\\sqrt[3x]{7}=7^{\frac{1}{27}}\\\\7^{\frac{1}{3x}}=7^{\frac{1}{27}}\\\\\dfrac{1}{3x}=\dfrac{1}{27}\\\\3x\cdot1=1\cdot27\\\\3x=27\\\\x=\dfrac{27}{3}\\\\\!\boxed{x=9}\end{array}}$

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Item e)

$\large\boldsymbol{\begin{array}{l}\sqrt[x]{\sqrt{13}}=\sqrt[18]{13}\\\\\sqrt[x\,\cdot\,2]{13}=13^{\frac{1}{18}}\\\\\sqrt[2x]{13}=13^{\frac{1}{18}}\\\\13^{\frac{1}{2x}}=13^{\frac{1}{18}}\\\\\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{18}\\\\2x\cdot1=1\cdot18\\\\2x=18\\\\x=\dfrac{18}{2}\\\\\!\boxed{x=9}\end{array}}$

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Portanto, o valor de x de cada equação é: a) x = 4/3; b) x = 10; c) x = 2; d) x = 9; e) x = 9.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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