Question

Determine o valor de x e y na figura abaixo.

Answer 1

Resposta:

2ª opção

Explicação:

Por ter 2 incógnitas, precisamos de 2 equações.

Note que a figura toda é um triângulo-retângulo. Como (2+x) é oposto ao ângulo reto, essa é a hipotenusa. Então

${(x + 2)}^{2} = {3}^{2} + {y}^{2}$

Desenvolvendo o produto notável:

${x}^{2} + 2x \times 2 + {2}^{2} = {x}^{2} + 4x + 4$

Então

${x}^{2} + 4x + 4 = {3}^{2} + {y}^{2}$

1ª equação

${x}^{2} + 4x - {y}^{2} = 9 - 4 = 5$

Agora para a 2ª equação, note que o 3 e o 2 formam um triângulo-retângulo cuja altura (h) é igual ao do triângulo-retângulo x com Y. Então

${3}^{2} = {h}^{2} + {2}^{2}$

${h}^{2} = 9 - 4 = 5$

Como a altura é a mesma do triângulo XY, então:

${y}^{2} = {x}^{2} + {h}^{2}$

${y}^{2} = {x}^{2} + 5$

Substituindo na 1ª equação

${x}^{2} + 4x - {y}^{2} = 5$

${x}^{2} + 4x - ( {x}^{2} + 5) = 5$

${x}^{2} + 4x - {x}^{2} - 5 = 5$

$4x = 5 + 5 = 10$

$x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

Como

${y}^{2} = {x}^{2} + 5$

${y}^{2} = {( \frac{5}{2} )}^{2} + 5$

${y}^{2} = \frac{25}{4} + 5$

${y}^{2} = \frac{25}{4} + \frac{20}{4} = \frac{45}{4}$

$y = \sqrt{( \frac{45}{4} )} = \frac{ \sqrt{45} }{ \sqrt{4} }$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{ {3}^{2} \times 5} = 3 \sqrt{5}$

$y = \frac{3 \sqrt{5} }{2}$